הבדלים בין גרסאות בדף "הוכחה שגויה"

הוסרו 207 בתים ,  לפני 3 שנים
אין תקציר עריכה
(←‏טורים: תיקון לשוני)
תגיות: עריכה ממכשיר נייד עריכה דרך האתר הנייד
===טורים===
במתמטיקה, [[טור (מתמטיקה)#טורים אינסופיים|טור אינסופי]] הוא [[סכום]] עם מספר [[אינסוף|אינסופי]] של מחוברים. קיימים טורים אינסופיים שסכומם [[מספר]] סופי. לדוגמה, הטור <math>\sum_{i=1}^\infty {\frac{1}{2^i}}</math>: <math>\frac12+\frac14+\frac18+\frac{1}{16}+\cdots=1</math>. טורים אינסופיים נעדרים מספר תכונות [[אינטואיציה|אינטואיטיביות]] המיוחסות לסכומים (כמו שתמיד הסכום הוא קבוע אחד ויחיד), ולכן, הם עומדים בבסיסן של הוכחות שגויות רבות.
*'''סכום מופרך''': בניגוד לסכומים רגילים, התוצאההסכום של טור אינסופי אינהשל מספרים אינו בהכרח מספר (סופי או אינסופי). ייחוס תוצאה סופיתמספרית לסכום לטוריםהטור והפעלת כלים [[אלגברה|אלגבריים]] פשוטים ומוכרים מעולם המספרים עליהם, עשוי להוביל לתוצאות מופרכות. לדוגמה:
 
::נסמן: <math>\ 1+2+4+8\cdots=S</math>. אז:
::<math>\ S=-1</math>
::<math> 1+2+4+8\cdots=-1</math>
(ראו גם [[סכום המספרים הטבעיים]]).
 
::והרי ברור (ניתן להוכיח זאת ב[[אינדוקציה מתמטית]]), שסכום הטור הוא מספר (שימו לב, שגם אמירה זו היא בעייתית) חיובי שרק הולך וגדל, ואינו יכול להיות שלילי.
 
*'''קיבוציות''': תכונה מוכרת ומאפיינת של פעולת ה[[חיבור]] היא תכונת ה[[פעולה אסוציאטיבית|קיבוציות]]. כאשר נתון סכום סופי של מספרים, אין צורך לחברם לפי סדר הופעתם, אלא ניתן לחבר את האיברים לפי איזה סדר שנחפוץ בו. כלל זה לא בהכרח תקף לסכומים אינסופיים, ושימוש בו עלול להוביל לתוצאות שגויות. לדוגמה: