אינפיניטסימל – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
|||
שורה 7:
==היסטוריה==
ה[[מתמטיקאי]] הראשון שעשה שימוש באינפיניטסימלים (בלי להשתמש במושג זה) היה [[ארכימדס]] (בערך בשנת [[250 לפנה"ס|250 לפני הספירה]]),{{הערה|1=Archimedes, ''The Method of Mechanical Theorems'', see the [[הפלימפססט של ארכימדס|Archimedes palimpsest]]}} למרות
ב[[הודו]], בתקופה שבין [[המאה ה-12]] עד [[המאה ה-16]], המתמטיקאי ההודי [[בהשקרה]] ומספר מתמטיקאים שעבדו בבית הספר המתמטי של מדינת [[קרלה]] בדרום הודו עשו שימוש באינפיניטסימלים במסגרת גרסה
במהלך המאה ה-17, גם בשל חשיפה מהלך המאות הקודמות באמצעות עולם המחשבה במרחב הערבי-מוסלמי לכתבי היוונים, בהם לכתבי ארכימדס, ולחידושיהם של ההוגים בו, החלו להתפתח ולהתפשט במערב שיטות "חישוב" בלתי פורמליות (שלא הוכחו במסגרת הגאומטריה שהיוותה את הענף המתמטי הרשמי היחידי) והאינפיניטסימל כרעיון העומד ביסוד [[עקרון קאוואליירי]], [[משיק|הגדרת המשיק]] באמצעים אלגבריים{{הערה|כתביו של דקארט מכילים חידושים באשר לשימושיות ולממשות שיטות אלגבריות ושימוש באינפיניטסימלים בתקופה שבה גאומטריה הייתה למעשה ה"מתמטיקה" היחידה כיוון שרק זו נשענה על הנחות ומושגי יסוד באופן מוקפד, ידוע כי ניוטון בנעוריו למד את כתביו של דקארט, השפעה זו ניכרת בשיטותיו של ניוטון שפורסמו בחייו ב[[אריתמטיקה אוניברסלית]] ולאחר מותו, ובמפעלו למיון עקומים ממעלה שלישית, ככל הנראה בהשראת שאיפתו הלא מושגת של דקארט.}}, [[משפט פרמה (לנקודות קיצון)|משפט פרמה]], [[כלל לופיטל]], תיאור [[קו השרשרת]], בעיות ה[[בעיית הברכיסטוכרון|ברכיסטוכרון]] וה[[בעיית הטאוטוכרון|טאוטכרון]], וכן [[יוהנס קפלר|קפלר]] שנעזר באינפינטסימלים למציאת [[שטח]] של [[מעגל]]-[[תרבוע המעגל]] (כאמור [[עקרון קאוואליירי]]).
כאשר [[אייזק ניוטון]] ו[[גוטפריד וילהלם לייבניץ]] פיתחו
: נניח שגוף נמצא בכל זמן t במרחק <math>\ X(t) = t^2</math> מן הראשית. כדי למצוא את מהירותו של הגוף (שהיא ה[[נגזרת]] של f), יהי <math>\ dt</math> אינפיניטסימל. בזמן <math>\ t+dt</math> הגוף נמצא במרחק <math>\ (t+dt)^2</math>, ומכאן שבמשך הזמן <math>\ dt</math> שמהזמן t, הוא הספיק לעבור מרחק של <math>\ (t+dt)^2 - t^2 = 2t \cdot dt + dt^2</math>. אם נחלק את המרחק בזמן נקבל <math>\ 2t+dt</math>. אבל dt קטן כרצוננו, ולכן היחס שווה ל-<math>\ 2t</math>.
בעקבות זאת יצא חוצץ ה[[בישוף]] וה[[פילוסוף]] [[ג'ורג' ברקלי]], בחיבורו "האנליסט",
מהלך כל התקופה שבין המאות ה-17 ועד המחצית השנייה של [[המאה ה-19]], נעשה במערב שימוש מעשי בשיטות שהפכו לחשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי שבסיסן עקרון שנוי במחלוקת זה, רק אז ניתן ל[[חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי|חשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי]] בסיס מתמטי פורמלי באמצעות הגדרת מושג ה[[גבול (מתמטיקה)|גבול]] {{ציטוטון|לפונקציה <math>\,f</math> יש '''גבול''' <math>\ L</math> בנקודה <math>\ x_0</math> אם לכל <math>\ \varepsilon > 0</math> (קטן כרצוננו) קיים <math>\ \delta>0</math> מתאים כך שלכל <math>x,y</math>, אם -<math>\ 0 < |x-x_0| < \delta </math> וגם <math>\ 0 < |y-x_0| < \delta </math> אזי <math>|f(x)-f(y)| < \varepsilon</math>.}} {{הערה|להבנת ההגדרה ראו גם [[גבול של פונקציה]]}}. באופן דומה ניתן להמשיך ולהגדיר את יתר מושגי היסוד של החדו"א: [[רציפות]], [[משפט ערך הביניים]] והכללותיו, [[גזירות]], [[נגזרת]] ו[[אינטגרל]].
▲בעקבות זאת יצא ה[[בישוף]] וה[[פילוסוף]] [[ג'ורג' ברקלי]], בחיבורו "האנליסט", חוצץ נגד עצם השימוש באינפיניטסימלים. ברקלי טען שהטענה הזו, למרות שהיא מעניינת במבט ראשון, ונותנת את התוצאה הנכונה, מבוססת על [[הנחה (לוגיקה)|הנחות]] ה[[סתירה (לוגיקה)|סותרות]] זו את זו: אנו [[חילוק|מחלקים]] ב-<math>\ dt</math> משום שזהו גודל חיובי שונה מ[[0 (מספר)|אפס]], ואז מחליפים אותו באפס, משום שהוא אינפיניטסימלי.
==אינפיניטסימלים באנליזה הלא סטנדרטית==
| |||