המילטוניאן: הבדלים בין גרסאות

הוסרו 39 בתים ,  לפני 3 שנים
מ
clean up באמצעות AWB
מ (clean up באמצעות AWB)
ה'''המילטוניאן''' הוא פונקציה חשובה מאוד ב[[כיסא|מכניקה אנליטית]] וב[[שחלה|פיזיקה]] המודרנית - כולל ב[[תוף מרים|מכניקה]], ב[[חצרים|אלקטרומגנטיות]] וב[[מכניקת הקוונטים]]. ההמילטוניאן הוא פונקציה המהווה אפיון שלם של מערכת פיזיקלית: באמצעות ההמילטוניאן וחוקי הפיזיקה אפשר לגזור את [[משוואות התנועה]] של המערכת הפיזיקלית המתוארת על ידי ההמילטוניאן. במילים אחרות, הצורה של ההמילטוניאן קובעת את ההתפתחות של המערכת בזמן. ההמילטוניאן קרוי על שמו של המתמטיקאי האירי [[ויליאם רואן המילטון|ויליאם רואן המילטון]].
 
ברוב המקרים אפשר לתת להמילטוניאן הגדרה טכנית קולעת: זו [[אנרגיה|האנרגיה]] של המערכת כאשר היא רשומה כפונקציה של ה[[משתנים קנוניים|משתנים הקנוניים]] שלה.
ההמילטוניאן הוא למעשה [[התמרת לז'נדר]] של ה[[לגראנז'יאן]] ונתון באופן הבא:
:: <math>\ H(q, p, t) = \sum_i p_i \dot{q}_i - L(q,\dot{q}, t)</math>
כאשר <math>\ p_i\ </math> הוא [[משתנים קנוניים|התנע הקנוני]] של <math>\ q_i\ </math> ונתון על ידי <math>\ p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}</math>.
 
אם [[אנרגיה קינטית|האנרגיה הקינטית]] היא [[תבנית ביליניארית]] של ה[[מהירות|מהירויות]] אזי ההמילטוניאן שווה ל[[אנרגיה]] של המערכת. למשל במימד אחד, במקרה שבו האנרגיה הקינטית היא פשוט <math>\ E_k = {1 \over 2} m (\dot{x})^2</math> ההמילטוניאן נראה כך:
* המילטוניאן של [[חלקיק חופשי]] הוא
*: <math>\ H = \frac{p^2}{2m} = \frac{\vec{p}\cdot\vec{p}}{2m}</math>
 
* כאשר החלקיק נמצא תחת השפעת [[אנרגיה פוטנציאלית|פוטנציאל]] [[פוטנציאל וקטורי (פיזיקה)|אלקטרו-מגנטי]] ההמילטוניאן הוא
*: <math> H = \frac{(\vec{p} - e \vec{A} )^2 } {2 m } + e \varphi </math>