דטרמיננטה – הבדלי גרסאות

ניתן לראות בדטרמיננטה פונקציה של איברי המטריצה שערכה מבטא את פקטור ההגדלה ה[[נפח]]ית של [[טרנספורמציה לינאריתליניארית|הטרנספורמציה הלינאריתהליניארית]] המיוצגת על ידי המטריצה.

פירוש הדבר הוא שהטרנספורמציה המיוצגת על ידי A מעתיקה את [[היפרקובייה|קוביית היחידה ה-n ממדית]] ל[[מקבילון]] ה-''n'' ממדי שקואורדינטות קודקודיו מיוצגות על ידי וקטורי העמודה של המטריצה <math>\bold{a}_1, \bold{a}_2, \ldots, \bold{a}_n</math>, ואשר הפנים שלו מוגדר על ידי התחום: <math>P = \{ c_1 \bold{a}_1 +\cdots+c_n\bold{a}_n \mid 0 \leq c_i\leq 1 \ \forall i \}.</math>. הדטרמיננטה תתן את הנפח [[אוריינטציה (אלגברה ליניארית)|המכוון]] של המקבילון הזה, כלומר <math>\det(A) = \pm \text{vol}(P)</math> (הסימן מראה האם הטרנספורמציה הלינאריתהליניארית משמרת או הופכת את [[אוריינטציה (אלגברה ליניארית)|אוריינטציית]] המקבילון{{הערה|[[שיקוף (מתמטיקה)|שיקופים]] למשל, בשונה מסיבובים, אינם משמרים אוריינטציה של המקבילון.}}).

ניתן להיווכח בכך שהדטרמיננטה מקיימת את כל התכונות הנדרשות מפונקציית נפח - שכן פעולות אלמנטריות משנות את הדטרמיננטה באופן זהה לשינוי שהן גורמות לנפח המקבילון. הפעולה האלמנטרית של כפל שורה בסקלר <math>\lambda</math> שקולה להארכת אחת מ[[צלע (גאומטריה)|צלע]]ות המקבילון פי אותו פקטור; הפעולה מגדילה את שטח ה[[פאה (גאומטריה)|פאה]] המכילה את הצלע באותו פקטור, ובאופן רקורסיבי פועלת כמתיחה בפקטור <math>\lambda</math> על פנים המקבילון, באנלוגיה להליך חישוב הדטרמיננטה לפי [[מינור (אלגברה לינאריתליניארית)|מינור]]ים. הוספת כפולה של שורה לשורה אחרת ניתנת לייצוג על ידי כפל ב[[מטריצה אלמנטרית]] השקולה ל[[מאמץ גזירה|העתקת גזירה]], ולכן פועלת כטרנספורמציה אשר משנה את זוויות המקבילון אך אינה משפיעה על נפחו (ככל גזירה).

בדרך זו ניתן גם להבין את מושג ה[[מטריצה הפיכה|הפיכות]] של מטריצה בצורה שונה; מטריצה מסדר ''n'' × ''n'' בעלת דטרמיננטה אפס מעתיקה את קוביית היחידה ה-''n'' ממדית למקבילון בעל נפח 0 שאינו יכול להיות ''n''-ממדי, מה שמעיד על כך שממד ה[[תמונה (מתמטיקה)|תמונה]] של ''A'' נמוך מ-''n''. פירוש הדבר הוא ש-''A'' מייצגת טרנספורמציה לינאריתליניארית שאינה [[פונקציה על|על]] ואינה [[פונקציה חד-חד-ערכית|חד-חד ערכית]], ולכן אין לה מטריצה הופכית (אין [[פונקציה הפיכה|טרנספורמציה הופכית]] לטרנספורמציה שהיא מייצגת).