שיטות למציאת אינטגרלים לא מסוימים – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אילן מינקין (שיחה | תרומות) |
אילן מינקין (שיחה | תרומות) |
||
שורה 152:
|}
</div>
== אינטגרלים של פונקציות רציונליות ==
יהיו שני [[פולינום|פולינומים]] <math>P_n(x)</math> (פולינום מסדר <math>n</math>) ו<math>Q_m(x)</math>(פולינום מסדר <math>m</math>). פונקציה רציונלית היא כל פונקציה מהצורה <math>\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}</math>. במקרים רבים, יש צורך בחישוב האינטגרל של פונקציות מסוג זה. ישנן שתי שיטות שמיועדות לשני מקרים שונים שעוזרות לפתור את האינטגרלים מהסוג הזה.
=== <u>פירוק לשברים חלקיים</u> ===
שיטה זו משמשת במקרים בהם <math>n<m</math>, כלומר כאשר הפולינום במונה מסדר נמוך יותר מהפולינום במכנה (או צורה פשוטה יותר: כשבמכנה מופיעה חזקה גבוהה יותר מאשר במונה). בשיטה זו, נרצה לפרק את המנה של הפולינומים למנות קטנות יותר של איבר ליניארי או קבוע, באיבר לינארי או ריבועי.
ובכן, תחילה יש לפרק את <math>Q_m(x)</math>לאיברים ליניאריים או פרבוליים. קיים משפט אשר מבטיח כי כל פולינום ניתן להצגה כמכפלה של פולינומים לכל היותר מסדר שני, כלומר כל פולינום ניתן לצהציג כמפלה של ביטויים ליניאריים ופרבוליים.
זאת אומרת שנרצה להציג את <math>Q_m(x)</math>כמכפלה של ביטויים מהצורה <math>(ax+b)</math>ו <math>(ax^2+bx+c)</math>. לאחר שהמכנה פורק, נפרק כבר את כל הביטוי. נניח שיש לנו מספר שברים עם מכנים שונים. כאשר נבצע מכנה משותף נקבל שבר אחד שבמכנה שלו תהיה מכפלה של כל המכנים של השברים הראשוניים. זאת אומרת שאם במכנה יש מכפלה של ביטויים, ניתן להפריד כל ביטוי לשבר נפרד, וכל מה שישאר זה למצוא את האיברים שמופיעים במונים של השברים.
* אם במכנה יש ביטוי ליניארי <math>(ax+b)</math> שמופיע במכנה פעם אחת בלבד, ניצור ממנו שבר מהצורה <math>\frac{A}{{\displaystyle (ax+b)} }</math>.
* אם במכנה יש ביטוי ליניארי <math>(ax+b)</math>שמופיע במכנה יותר מפעם אחת בלבד, כלומר במכנה מופיע ביטוי מהצורה <math>{\displaystyle (ax+b)} ^k</math>, ניצור ממנו שברים מהצורה <math>\sum_{i=1}^k \frac{A_i}{{\displaystyle (ax+b)} ^i}=\frac{A_1}{ax+b}+\frac{A_2}{{\displaystyle (ax+b)} ^2}+...+\frac{A_k}{{\displaystyle (ax+b)} ^k}</math>.
* אם במכנה יש ביטוי פרבולי <math>(ax^2+bx+c)</math>שמופיע במכנה פעם אחת בלבד, ניצור ממנו שבר מהצורה <math>\frac{Ax+B}{{\displaystyle (ax^{2}+bx+c)} }</math>.
* אם במכנה יש ביטוי ליניארי <math>(ax^2+bx+c)</math>שמופיע במכנה יותר מפעם אחת בלבד, כלומר במכנה מופיע ביטוי מהצורה <math>{\displaystyle (ax^{2}+bx+c)} ^k</math>, ניצור ממנו שברים מהצורה <math>\sum_{i=1}^k \frac{A_ix+B_i}{{\displaystyle (ax^{2}+bx+c)} ^i}=\frac{A_1x+B_1}{{\displaystyle (ax^{2}+bx+c)} }+\frac{A_2x+B_2}{{\displaystyle (ax^{2}+bx+c)} ^2}+...+\frac{A_kx+B_k}{{\displaystyle (ax^{2}+bx+c)} ^k}</math>.
לאחר שהביטוי הראשוני פורק בצורה לעיל, יש לבצע מכנה משותף (ולזרוק אותו), לפתוח את כל הסוגריים ולקבץ ביטויים עם אותה החזקה, כלומר להביא את הביטוי למצב <math>\alpha_0 x^0+\alpha_1x^1+...+\alpha_nx^n</math>. למעשה הביטוי הזה, צריך להיות שווה בדיוק לפולינום <math>P_n(x)</math>(מפני שזרקנו את המכנה שהיה <math>Q_m(x)</math>) וכדי למצוא את הפרמטרים שהצבנו בעת פירוק השבר הראשוני לשברים מצומצמים יותר, נשווה את המקדמים של האיברים עם החזקות הזהות בפולינום <math>P_n(x)</math>ובפולינום אליו הגענו <math>\alpha_0 x^0+\alpha_1x^1+...+\alpha_nx^n</math>. לאחר שנפתור את מערכות המשוואות שיתקבלו, נקבל שברים עם מכנה לכל היותר ריבועי, שהאינטגרציה עליהם הרבה יותר פשוטה.
== פירוק לשברים חלקיים ==
| |||