שלמות – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
לא יודעת תגיות: הסרת קטגוריות עריכה ממכשיר נייד עריכה דרך האתר הנייד |
מ שוחזר מעריכות של 178.94.222.166 (שיחה) לעריכה האחרונה של דגש חזק |
||
שורה 11:
הוכחות לשלמות ולנאותות מעידות על הזיקה שבין ה[[תחביר]] (סינטקס) וה[[סמנטיקה]] של המערכת. התחביר קובע איזו נוסחה היא [[תיאורמה]] (או משפט), דהיינו איזו נוסחה ניתנת לגזירה מן האקסיומות, באמצעות כללי ההיסק. הסמנטיקה קובעת איזו נוסחה היא [[טאוטולוגיה (לוגיקה)|טאוטולוגיה]], דהיינו איזו נוסחה היא אמיתית בהכרח מכוח משמעותם של המונחים המקושרים בה והאופן בו הם מקושרים. לפי הגדרות אלו, למערכת יש שלמות, כאשר כל טאוטולוגיה היא גם תיאורמה. למערכת יש נאותות, כאשר כל תיאורמה היא טאוטלוגיה.
ניתן לראות כי התכונות נאותות ושלמות קשורות זו לזו, אף שלא כל מערכת נאותה היא גם שלמה. [[קורט גדל]] הוכיח ב-1931 שבכל מערכת לוגית שהיא חזקה מספיק יש נוסחאות אמיתיות שלא ניתן להוכיח אותן או את שלילתן. מערכת חזקה מספיק היא, לצורך העניין, כל מערכת [[תורה אפקטיבית|אפקטיבית]] ו[[עקביות (לוגיקה מתמטית)|עקבית]], המבוססת על [[שפה מסדר ראשון]], שיש בה מספיק מושגים כדי לנסח טענות על כפל במספרים השלמים. מערכת כזו, הכוללת את האריתמטיקה בתוכה, היא המערכת שהציע [[ברטראנד ראסל]] לראשונה ב[[פרינקיפיה מתמטיקה (ראסל)|פרינקיפיה מתמטיקה]]. מכאן ששפה אפקטיבית חזקה מספיק, אינה יכולה להיות עקבית, נאותה ו[[שלמות (לוגיקה מתמטית)|שלמה]]. חוק זה נקרא [[משפט אי השלמות של גדל]], ובעקבותיו השתנה היחס של מתמטיקאים לתוכנית של [[דויד הילברט]] לבסס את כל ה[[מתמטיקה]] על [[קבוצה סופית]] של אקסיומות.
[[קטגוריה: לוגיקה]]
[[קטגוריה: פילוסופיה]]
[[קטגוריה:לוגיקה מתמטית]]
| |||