שיטות למציאת אינטגרלים לא מסוימים – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה
שורה 239:
לא בכל המקרים ניתן להציג פונקציה בצורה האלמנטרית שלה <math>f(x)</math>אלא באמצעות טור חזקות אינסופי. לכן לא תמיד אפשרי לחשב אינטגרל של פונקציה מסוימת. במקרה שכזה נרצה להציג את הפונקציה כטור מקלורן (ניתן לבחור גם בטור טיילור סביב ערך מתאים) ובצע אינטגרציה על כל איבר. לאחר ביצוע אלגוריתם זה, לפעמים, ניתן יהיה להחזיר את הטור לצורה של פונקציה אלמנטרית, ולפעמים לא.
 
* <u>דוגמה:</u> נרצה לחשב את האינטגרל <math>\int \frac{\ln (x+1)}{x}dx</math>. לא ניתן לחשב בשום דרך פרט לפירוק לטורי מקלורן. הטור ללוגוריתם הטבעי ידוע היטב ונתון על ידי<math>\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n}\quad\mbox{ for } \left| x \right| < 1</math>. כעת נרצה לחלק כל אחד מהאיברים ב<math>x</math>:
* <u>דוגמה:</u>
 
<math>\frac{\ln (1+x)}{x}= \frac{1}{x}\sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n}=\sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \frac{x^{n}}x{}=\sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n-1} </math>.
 
הצגנו את הפונקציה באינטגרנד כטור, וכעת ניתן לבצע אינטגרציה על כל איבר לחוד. יש לנו את ההרשאה לבצע זאת, בזכות העובדה שהאינטגרל הינו אופרטור ליניארי:
 
<math>\int \frac{\ln (x+1)}{x}dx=\int (\sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n-1})dx=\sum^{\infin}_{n=1} \int \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n-1}dx=\sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n-1}}{n^2} x^n+C</math>.
 
<u>הערות:</u>
 
# הפונקציה שהתקבלה כפתרון האינטגרל שחיפשנו, לא ניתנת לכתיבה בצורה של פונקציה אלמנטרית
# היות וטור טיילור מתאר מציג את הפונקציה <math>\ln(1+x) </math> אך ורק בקטע <math>(-1,1)</math>ולא עבור כל <math>x \in \mathbb{R}</math>ולכן פתרון האינטגרל מתאים אך ורק בתחום זה. עבור ערכים שאינם בתחום זה לא קיים פתרון לאינטגרל.
 
==שיטת ההצבה==
הצבה היא<math>\int \frac{\ln (x+1)}{x}dx</math> שיטה לפתרון אינטגרלים לא מסוימים על ידי פישוט זמני של הפונקציה. בעזרת "הצבה" זמנית נמיר את הפונקציה לפונקציה פשוטה יותר, שעבורה נמצא פונקציה קדומה. בסיומו של ההליך נבצע הצבה נוספת, כדי לחזור לצורה המקורית, ונקבל את משפחת הקדומות של הפונקציה המקורית.
 
לאורך התהליך נהוג להחליף את האות המייצגת את משתנה האינטגרציה בכל הצבה, על מנת לזכור את ההצבות שבוצעו. בסוף התהליך, לאחר שחושבה פונקציה קדומה, ניתן להחליף את האותיות חזרה על מנת להשלים את הפעולה.