תורת המספרים – הבדלי גרסאות

'''תורת המספרים''' היא ענף של ה[[מתמטיקה]] העוסק בתחום רחב של נושאים, ששורשיהם בחקר התכונות של ה[[מספר טבעי|מספרים הטבעיים]].

בעיות רבות בתורת המספרים הן קלות לניסוח אך קשות מאוד לפתרון, וענפים נכבדים במתמטיקה מודרנית פותחו תוך ניסיון לפתור בעיות מסוג זה. דוגמה ידועה היא [[המשפט האחרון של פרמה]], ובעיות שהן עדיין פתוחות [[השערת גולדבך]] (כל מספר זוגי הגדול מ - [[2 (מספר)|2]], הוא סכום של שני [[מספר ראשוני|ראשוניים]]), השערת ה[[ראשוניים תאומים|ראשוניים התאומים]] (שלפיה יש [[אינסוף]] זוגות של ראשוניים שההפרש ביניהם הוא 2) והשערת [[מספר מרסן|מספרי מרסן הראשוניים]] (שלפיה יש אינסוף מספרי מרסן ראשוניים וכתוצאה מכך קיימים אינסוף [[מספר משוכלל|מספרים משוכללים]]).

'''תורת המספרים האנליטית''' משתמשת בכלים של [[חשבון אינפיניטסימלי]] ו[[פונקציה מרוכבת|פונקציות מרוכבות]] כדי להתמודד עם בעיות העוסקות בתכונותיהם של המספרים השלמים. כלים אלה הם שימושיים ביותר בחקר תכונותיהם של המספרים הראשוניים: [[משפט המספרים הראשוניים]], משפט מרכזי המתאר את צפיפותם של מספרים אלה, הוכח באמצעות כלים אנליטיים, וכמוהו גם תוצאות רבות אחרות הקשורות בראשוניים (ב-[[1949]] מצאו [[פאול ארדש]] ו[[אטלה סלברג]] הוכחה 'אלמנטרית' למשפט המספרים הראשוניים; הוכחה זו אינה משתמשת בכלים אנליטיים, אבל היא נחשבת למסובכת וקשה יותר מן ההוכחה האנליטית). [[השערת רימן]] היא בעיה פתוחה חשובה שצמחה מתורת המספרים האנליטית, ובעיות פתוחות כמו [[השערת גולדבך]] נחקרות באמצעים דומים.

'''[[תורת המספרים האלגברית]]''' עוסקת ב[[מספר אלגברי#שלמים אלגבריים|שלמים אלגבריים]] שהם [[הכללה (מתמטיקה)|הכללה]] של ה[[מספר שלם|מספרים השלמים]] הרגילים: מספרים כמו <math>2+3\sqrt{5}</math> או <math>\frac{1+i\sqrt{3}}{2}</math> הם שלמים אלגבריים. למספרים אלה יש, בהנחות מסוימות, תכונות דומות למספרים השלמים הרגילים, וניתן בעזרתם לתקוף ביתר-קלות בעיות בתורת המספרים.

המספרים הטבעיים מלווים את האדם משחר התרבות. לא ידוע מתי בדיוק נולד העניין בשאלות "מופשטות" הקשורות במספרים, שאלות שאינן קשורות ישירות בספירת עצמים. טבלאות [[בבל|בבליות]]יות קדומות, מהתקופה שבין 1900 ל-1600 לפנה"ס, דנות ב[[שלשה פיתגורית|שלשות פיתגוראיות]], דהיינו מספרים שלמים המקיימים את התנאי <math>a^2+b^2 = c^2</math>. טבלה מפורסמת בשם [[פלימפטון 322]] שנחשבה בתחילה כמכילה רישום עסקאות מסחריות, היא למעשה רשימה מסודרת ומדויקת למדי של שלשות כאלה, אם כי אין זה ודאי שלכך הבבלים כיוונו.

תורת המספרים זכתה לפריחה ביוון הקדומה, במיוחד בעבודותיהם של [[פיתגורס]], [[אוקלידס]] ו[[דיופנטוס]].