הבדלים בין גרסאות בדף "שדה (מבנה אלגברי)"

←‏הגדרה: עריכה
מ (בוט החלפות: \1ליניארי)
(←‏הגדרה: עריכה)
 
== הגדרה ==
שדה הוא<math>F</math> זהו [[מבנה אלגברי]] הכולל [[קבוצהלפחות (מתמטיקה)|קבוצה]]שני <math>\איברים, F</math>0 ו-1 עםבעל שתי [[פעולה בינארית|פעולות בינאריות]], להן אפשר לקרוא "חיבור" ו"כפל" (המסומנות בדרך כלל ב- "<math>+</math>" ו- "<math>\cdot</math>) ושני קבועים" (שוניםחיבור וכפל) -המקיים 0לכל ו-<math>a, 1b, המקיימותc</math> אתב- התכונות<math>\ הבאותF</math>:
* <math>a+b=b+a</math> ([[קומוטטיביות]], חוק החילוף)
* המבנה <math>\ (F, + , 0)</math> הוא [[חבורה אבלית]], כלומר: החיבור [[פעולה אסוציאטיבית|אסוציאטיבי]] ו[[חילופיות|קומוטטיבי]], 0 הוא איבר נייטרלי, ולכל איבר יש נגדי;
* <math>(a+b)+c=a+(b+c)</math> ([[אסוציאטיביות]], חוק הקיבוץ)
* המבנה <math>\ (F\setminus \{0\}, \cdot , 1)</math> הוא [[חבורה אבלית]], כלומר: הכפל [[פעולה אסוציאטיבית|אסוציאטיבי]] ו[[חילופיות|קומוטטיבי]], 1 הוא [[איבר יחידה]], ולכל איבר שונה מאפס יש [[איבר הופכי|הפכי]];
* <math>a+0=a</math> (0 הוא [[איבר נייטרלי]])
* מתקיים [[חוק הפילוג]] (דיסטריבוטיביות הכפל מעל החיבור): לכל <math>a, b, c</math> ב- <math>\ F</math> מתקיים <math>a\cdot(b+c) = (a\cdot b)+(a\cdot c)</math>.
* לכל a קיים b כך ש-<math>a+b=0</math> (לכל איבר קיים נגדי)
* <math>a \cdot b = b \cdot a</math>
* <math>(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)</math>
* <math>a \cdot 1 = a</math>
* לכל a שונה מ-0 קיים b כך ש-<math>a \cdot b =1
</math>(קיום הופכי)
* <math>a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c</math> ([[דיסטריבוטיביות]], חוק הפילוג)
 
מאקסיומות אלה נובעות כמה תכונות בסיסיות, כדוגמת יחידות של האיברים הנייטרליים (כלומר, התכונה '<math>\ a+x=a</math> לכל a' מייחדת את [[איבר האפס]], וכן לאיבר היחידה), יחידות הנגדי וההפכי והעובדה שמכפלת כל איבר ב-0 שווה ל-0.