אינפיניטסימל – הבדלי גרסאות

ב[[מתמטיקה]], '''אינפיניטסימל''' הוא כינוי לגודל חיובי קטן לאין שיעור ("כרצוננו"). הרעיון היה מובלע בעבודתם הגאומטרית של ה[[יוון העתיקה|יוונים]], שיחק תפקיד מרכזי ב[[חשבון אינפיניטסימלי|חשבון האינפיניטסימלי]] של ה[[המאה ה-18|מאה ה-18]], ואיבד את מקומו לטובת הפיתוח המסודר של ה[[חשבון אינפיניטסימלי|חשבוןהחשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי]] ב[[המאה ה-19|מאה ה-19]]. כיום יש תורות של [[אנליזה לא סטנדרטית]] העושות בו שימוש. ב[[מערכת מספרים]] היפר-ממשיים קיימים מספרים אינפיניטסימלים.

ה[[מתמטיקאי]] הראשון שעשה שימוש באינפיניטסימלים (בלי להשתמש במושג זה) היה [[ארכימדס]] (בערך בשנת [[250 לפנה"ס|250 לפני הספירה]]),{{הערה|1=Archimedes, ''The Method of Mechanical Theorems'', see the [[הפלימפססט של ארכימדס|Archimedes palimpsest]]|שמאל=כן}} למרות שלא שיער קיומם של אינפיניטסימלים [[פיזיקה|פיזיקליים]]. [[תכונת ארכימדס]], שהוגדרה בסוף המאה ה-19 על ידי [[אוטו שטולץ]], מאפיינת מבנה סדור, שבו כל גודל קטן מכפולה של כל גודל אחר, ולכן אין בו אינפינטיסימלים שאינם משמרים תכונות חשבוניות.

במהלך המאה ה-17, גם בשל חשיפה מהלך המאות הקודמות באמצעות עולם המחשבה במרחב הערבי-מוסלמי לכתבי היוונים, בהם לכתבי ארכימדס, ולחידושיהם של ההוגים בו, החלו להתפתח ולהתפשט במערב שיטות "חישוב" בלתי פורמליות (שלא הוכחו במסגרת הגאומטריה שהיוותה את הענף המתמטי הרשמי היחידי) והאינפיניטסימל כרעיון העומד ביסוד [[עקרון קאוואליירי]], [[משיק|הגדרת המשיק]] באמצעים אלגבריים,{{הערה|כתביו של דקארט מכילים חידושים באשר לשימושיות ולממשות שיטות אלגבריות ושימוש באינפיניטסימלים בתקופה שבה גאומטריה הייתה למעשה ה"מתמטיקה" היחידה כיוון שרק זו נשענה על הנחות ומושגי יסוד באופן מוקפד, ידוע כי ניוטון בנעוריו למד את כתביו של דקארט, השפעה זו ניכרת בשיטותיו של ניוטון שפורסמו בחייו ב[[אריתמטיקה אוניברסלית]] ולאחר מותו, ובמפעלו למיון עקומים ממעלה שלישית, ככל הנראה בהשראת שאיפתו הלא מושגת של דקארט.}}, [[משפט פרמה (לנקודות קיצון)|משפט פרמה]], [[כלל לופיטל]], תיאור [[קו השרשרת]], בעיות ה[[בעיית הברכיסטוכרון|ברכיסטוכרון]] וה[[בעיית הטאוטוכרון|טאוטכרון]], וכן [[יוהנס קפלר|קפלר]] שנעזר באינפינטסימלים למציאת [[שטח]] של [[מעגל]]-[[תרבוע המעגל]] (כאמור [[עקרון קאוואליירי]]).

: נניח שגוף נמצא בכל זמן t במרחק <math>\ X(t) = t^2</math> מן הראשית. כדי למצוא את מהירותו של הגוף (שהיא ה[[נגזרת]] של f), יהי <math>\ dt</math> אינפיניטסימל. בזמן <math>\ t+dt</math> הגוף נמצא במרחק <math>\ (t+dt)^2</math>, ומכאן שבמשך הזמן <math>\ dt</math> שמהזמן t, הוא הספיק לעבור מרחק של <math>\ (t+dt)^2 - t^2 = 2t \cdot dt + dt^2</math>. אם נחלק את המרחק בזמן נקבל <math>\ 2t+dt</math>. אבל dt קטן כרצוננו, ולכן היחס שווה ל-<math>\ 2t</math>.

מהלך כל התקופה שבין המאות ה-17 ועד המחצית השנייה של [[המאה ה-19]], נעשה במערב שימוש מעשי בשיטות שהפכו לחשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי שבסיסן עקרון שנוי במחלוקת זה, רק אז ניתן ל[[חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי|חשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי]] בסיס מתמטי פורמלי באמצעות הגדרת מושג ה[[גבול (מתמטיקה)|גבול]] {{ציטוטון|לפונקציה <math>\,f</math> יש '''גבול''' <math>\ L</math> בנקודה <math>\ x_0</math> אם לכל <math>\ \varepsilon > 0</math> (קטן ככל שיהיה) קיים <math>\ \delta>0</math> מתאים כך שלכל <math>x</math>, אם -<math>\ 0 < |x-x_0| < \delta </math> אז <math>|f(x)-L| < \varepsilon</math>.}}.{{הערה|להבנת ההגדרה ראו גם [[גבול של פונקציה]]}}. באופן דומה ניתן להמשיך ולהגדיר את יתר מושגי היסוד של החדו"א: [[רציפות]], [[משפט ערך הביניים]] והכללותיו, [[פונקציה גזירה|גזירות]], [[נגזרת]] ו[[אינטגרל]].

==אינפיניטסימלים באנליזה הלא סטנדרטית==

בין המספרים הממשיים, לכל מספר שלם n יש מספר חיובי h קטן מ- <math>\ 1/n</math>. [[משפט הקומפקטיות]] מאפשר להפוך את סדר ה[[כמת (לוגיקה מתמטית)|כמתים]], ולהסיק שקיימת מערכת מתמטית עם מספר חיובי h, הקטן מכל המספרים מהצורה <math>\ 1/n</math> גם יחד. מערכת זאת הנקראת [[שדה המספרים ההיפר-ממשיים]], מרחיבה את [[שדה המספרים הממשיים]], והיא מהווה "מודל לא סטנדרטי" שלהם, שבו מתקיימות כל הטענות [[שפה מסדר ראשון|מסדר ראשון]] הנכונות עבור מספרים ממשיים. המספרים הממשיים הרגילים מהווים "איברים סטנדרטיים" של המודל, ויש בו בנוסף גם איברים לא סטנדרטיים.

באיבר הלא-סטנדרטי h של המערכת החדשה אפשר לראות אינפיניטיסימל, משום שהוא קטן מכל הממשיים החיוביים. (באותה מידה המספר <math>\ 1/h</math> "גדול לאינסוף" - הוא גדול מכל המספרים הממשיים). גישה זו היא פיתוח של [[אברהם רובינזון]], שיצר ב-[[1960]] את האנליזה הלא-סטנדרטית.

בגישה אחרת מרחיבים את השפה, כלומר את מערכת האקסיומות, המתארת את המספרים הממשיים. מערכת אקסיומות כזו פותחה ב-[[1977]] על ידי [[אדוארד נלסון]], והיא נקראת IST, על-שם שלוש האקסיומות שהיא מוסיפה: Idealization, Standardization ו- Transfer. באופן הזה אפשר להגדיר אינפיניטסימלים, שהם קטנים בערכם המוחלט מכל מספר חיובי ממשי סטנדרטי.

* J. Keisler "Elementary Calculus" (200) University of Wisconsin [http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html]

* Robert Goldblatt (1998) "Lectures on the hyperreals" Springer. [http://www.springer.com/west/home/generic/order?SGWID=4-40110-22-1590889-0]