דרגה (אלגברה ליניארית) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
|||
שורה 9:
כיוון שממד מרחב הפתרונות של [[מערכת משוואות ליניאריות]] קשור באופן ישיר בדרגה של המטריצה המייצגת אותה, ניתן להבין אינטואיטיבית את מושג הדרגה כמדד ל-"[[מקרה מנוון|חוסר הניוון]]" של המערכת.
== הוכחה שדרגת העמודות שווה לדרגת השורות ==
העובדה שדרגת העמודות ודרגת השורות של כל מטריצה הן שוות מהווה חלק חשוב של המשפט היסודי של האלגברה הלינארית. להלן מוצגת הוכחה לטענה זו, התקפה מעל כל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]].
תהי ''A'' מטריצה מסדר ''m × n'' (עם ''m'' שורות ו-''n'' עמודות). תהי ''r'' דרגת העמודות של ''A'' ויהיו הוקטורים ''c<sub>1</sub>'',...,''c<sub>r</sub>'' כל בסיס שהוא למרחב העמודות של ''A''. נייצג אותם בצורה סכמטית כמטריצה ''C'' מסדר ''m × r''. כל עמודה של ''A'' ניתנת להצגה כצירוף לינארי של ''r'' העמודות של ''C''. פירוש הדבר הוא שקיימת מטריצה ''R'' מסדר ''r × n'' כך ש-''A = CR''. המטריצה ''R'' היא המטריצה שבה העמודה ה-''i'' נוצרת מהמקדמים שמייצגים את העמודה ה-''i'' של ''A'' כצירוף לינארי של ''r'' העמודות של ''C''. כעת, כל שורה של ''A'' ניתנת להצגה כצירוף לינארי של ''r'' השורות של ''R''. לפיכך, השורות של ''R'' פורשים את את מרחב העמודות של ''A'', ולפי [[למת ההחלפה של שטייניץ]], דרגת השורות של ''A'' לא יכולה לעלות על ''r''. זה מוכיח שדרגת השורות של ''A'' קטנה או שווה לדרגת העמודות. את תוצאה זו ניתן ליישם לכל מטריצה, כך שניישם אותה למטריצה המשוחלפת של ''A''. כיוון שדרגת השורות של המטריצה המשוחלפת של ''A'' שווה לדרגת העמודות של ''A'' ודרגת העמודות של המטריצה המשוחלפת של ''A'' שווה לדרגת השורות של ''A'', ניתן להקיש גם את האי-שוויון ההפוך ומשניהם יחד את השוויון של דרגת השורות ודרגת העמודות של ''A''.
==משפטים הקשורים לדרגה==
| |||