דרגה (אלגברה ליניארית) – הבדלי גרסאות

תהי ''A'' מטריצה מסדר ''m × n'' (עם ''m'' שורות ו-''n'' עמודות). תהי ''r'' דרגת העמודות של ''A'' ויהיו הוקטורים ''c₁'',...,''c_r'' כל בסיס שהוא למרחב העמודות של ''A''. נייצג אותם בצורה סכמטית כמטריצה ''C'' מסדר ''m × r''. כל עמודה של ''A'' ניתנת להצגה כצירוף לינארי של ''r'' העמודות של ''C''. פירוש הדבר הוא שקיימת מטריצה ''R'' מסדר ''r × n'' כך ש-''A = CR''. המטריצה ''R'' היא המטריצה שבה העמודה ה-''i'' נוצרת מהמקדמים שמייצגים את העמודה ה-''i'' של ''A'' כצירוף לינארי של ''r'' העמודות של ''C''. כעת, כל שורה של ''A'' ניתנת להצגה כצירוף לינארי של ''r'' השורות של ''R''. לפיכך, השורות של ''R'' פורשים את את מרחב העמודות של ''A'', ולפי [[למת ההחלפה של שטייניץ]], דרגת השורות של ''A'' לא יכולה לעלות על ''r''. זה מוכיח שדרגת השורות של ''A'' קטנה או שווה לדרגת העמודות. את תוצאה זו ניתן ליישם לכל מטריצה, כך שניישם אותה למטריצה המשוחלפת של ''A''. כיוון שדרגת השורות של המטריצה המשוחלפת של ''A'' שווה לדרגת העמודות של ''A'' ודרגת העמודות של המטריצה המשוחלפת של ''A'' שווה לדרגת השורות של ''A'', ניתן להקיש גם את האי-שוויון ההפוך ומשניהם יחד את השוויון של דרגת השורות ודרגת העמודות של ''A''.

 

==משפטים הקשורים לדרגה==