חוק סטפן-בולצמן – הבדלי גרסאות

ניתן להגיע לחוק סטפן־בולצמן על ידי חישוב הקרינה של משטח קטן של גוף שחור הפולט לתוך חצי ספירה. הפיתוח עושה שימוש בקורדינטות ספריות, כאשר φ הינההיא זווית ההגבהה ו־θ הינה זווית האזימוט. המשטח של גוף השחור מונח על מישור xy, כאשר <math>\varphi=\pi/2</math>.

:* <math>k</math> - קבוע בולצמן הביטוי <math>I(\nu,T) ~A ~d\nu ~d\Omega</math> הינוהוא העוצמה המוקרנת ממשטח בעל שטח <math>A</math> דרך מפתח זוויתי של <math>~d\Omega</math> בתחום התדרים <math>\nu \longleftrightarrow \nu+~d\nu</math>

: כעת נדרש לבצע אינטגרציה של <math>\Omega</math> על חצי ספירה ואינטגרציה של <math>\nu</math> מ־0 עד <math>\infty</math>. כמו כן, כיוון שגוף שחור הינוהוא למברטי, העוצמה הניצפתהנצפית מהספרה תהיה שווה לעוצמה מוכפלת ב־cos הזווית φ, ובקורדינטותובקואורדינטות ספריות, <math>~d\Omega=sin(\varphi)d \varphi d\theta</math>.

: האינטגרל שהתקבל הינו מוכר במספר שמות, מקרה פרטי של אינטגרל בוז־אינשטיין, או [[פונקציית זטא של רימן]], או פוליגריתם. הערך של האינגטרל הואערכו <math> \frac{\pi^4}{15} </math>, כך שמקבלים שעבור משטח של גוף שחור אידיאליאידאלי:

: הוכחה זו בוצעה עבור יחידת שטח קטנה, אולם כל משטח יכול להיות מחולק למספר של משטחים קטנים. כל עוד פני השטח של הגוף השחור לא גורמים לכך שהוא יבלע חלק מהאנרגיה בעצמו, סף האנרגיה המוקרנת הינההוא סכום הארגיותהאנרגיות שנפלטים מכל אח מהמשטחים - כך שהחוק תקף לגופים שחורים קמורים, כל עוד יש למשטח טמפרטורה אחידה. ניתן להרחיב את החוק גם לגופים שאינם קמורים על ידיי השימוש בעובדה שחלל קעור של גוף שחור קורן כאילו הוא גוף שחור בעצמו.