גאומטריה היפרבולית – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ הוספת תבנית:MathWorld בקישורים חיצוניים (תג) (דיון) |
←עקביות הגאומטריה ההיפרבולית: הרחבה בסיסית קלה של הערך; אם העריכה טעונה שיפור אודה אם ישכתבו אותי. תגית: הוספת תבנית לשינויים בערך |
||
שורה 4:
במהלך השנים שאחרי פרסום ה[[ספר]] "[[יסודות (ספר)|יסודות]]" של אוקלידס (שלימים היווה את הבסיס לגאומטריה שנקראת על שמו: "[[גאומטריה אוקלידית]]"), הייתה מקובלת התחושה שאקסיומת המקבילים (הקובעת שדרך נקודה שמחוץ לישר עובר קו [[ישרים מקבילים|מקביל]] אחד ויחיד) אינה 'טבעית' ומובנת מאליה כמו יתר האקסיומות של ה[[גאומטריה]]. תחושה זו הביאה לניסיונות חוזרים ונשנים [[הוכחה|להוכיח]] את האקסיומה החמישית כ[[משפט (מתמטיקה)|משפט]] גאומטרי. כל הניסיונות מסוג זה כשלו, עד שב[[המאה ה-19|מאה ה-19]], ה[[מתמטיקאי]]ם [[קרל פרידריך גאוס|גאוס]], [[יאנוש בולאי|בולאי]] ו[[ניקולאי איוונוביץ' לובצ'בסקי|לובצ'בסקי]] הגיעו במקביל (כל אחד בנפרד) ל[[מסקנה]] שהאקסיומה החמישית אינה נובעת מן האקסיומות האחרות. הם הגיעו להבנה, שניתן להחליף את האקסיומה המקובלת בזו המצוינת לעיל, ולקבל מבנה גאומטרי עשיר ומעניין, גם אם שונה מהגאומטריה האוקלידית המוכרת. אחד ההבדלים הבולטים הוא שבגאומטריה היפרבולית, [[משולש|סכום הזוויות במשולש]] קטן מ-180 [[מעלה (זווית)|מעלות]].
== תכונות הגאומטריה ההיפרבולית ==
{{להשלים}}
=== ישרים ===
ל[[ישר]]ים יחידים בגאומטריה היפרבולית יש בדיוק אותן תכונות כמו קווים ישרים בגאומטריה אוקלידית. לדוגמה, שתי נקודות מגדירות ישר היפרבולי יחיד, וניתן להמשיך את הישרים (לשני הכיוונים) במידה אינסופית.
לזוג ישרים נחתכים יש בדיוק אותן תכונות כמו לזוג ישרים נחתכים בגאומטריה אוקלידית. למשל, שני ישרים לעולם לא נחתכים ביותר מנקודה אחת, [[זוויות קודקודיות|הזוויות הקודקודיות]] שנוצרות בנקודת החיתוך שוות, וכמו כן זוויות צמודות של הן משלימות ל-180 מעלות.
כאשר מוסיפים ישר שלישי אז התכונות של ישרים היפרבוליים נחתכים הופכות שונות מאלו של ישרים נחתכים בגאומטריה אוקלידית. לדוגמה, בהינתן 2 ישרים נחתכים ישנם אינסוף ישרים היפרבוליים שאינם חותכים את אף אחד מצמד הישרים הנתונים.
כל התכונות הללו '''אינן''' תלויות ב[[מודל (מתמטיקה)|מודל]] של המישור ההיפרבולי בו משתמשים, אף על פי שהישרים עשויים להיראות שונים ביותר במודלים שונים.
==== ישרים לא נחתכים/מקבילים ====
[[File:Hyperbolic.svg|frame|left|ישרים העוברים דרך נקודה נתונה ''P'' ואסימפטוטיים לישר ''R''.]]
לישרים לא נחתכים בגאומטריה היפרבולית יש תכונות ששונות מאלו של ישרים לא נחתכים בגאומטריה אוקלידית:
: בעבור כל ישר ''R'' ונקודה ''P'' שלא נמצאת על ''R'', אז במישור שמכיל את הישר ''R'' והנקודה ''P'' ישנם לפחות שני ישרים שונים דרך ''P'' שלא חותכים את ''R''.
פירוש הדבר שדרך ''P'' ישנם אינסוף ישרים שנחים באותו מישור ואינם חותכים את ''R''.
את הישרים הלא-נחתכים הללו נהוג לחלק לשתי קבוצות:
* שניים מהישרים (''x'' ו-''y'' באיור משמאל) הם "'''מקבילים גבוליים'''" (limiting parallels): ישנו אחד כזה בכיוון של כל אחד מהנקודות האידיאליות (נקודות באינסוף) שב"קצוות" של ''R'', וכל אחד כזה מתקרב אסימפטוטית ל-''R'', אך לעולם אינו פוגש אותו.
* לכל אחד מהישרים הלא-נחתכים האחרים יש נקודה של מרחק מינימלי מ-''R'' והם מתבדרים מן הישר בשני צידיה של הנקודה הזאת. ישרים אלו מכונים "'''אולטרה-מקבילים'''" (ultraparallel), ולעתים גם "מקבילים מתבדרים".
ישנם מחברים שמשתמשים במונח ישרים "מקבילים" כדי להתייחס ל"מקבילים גבוליים" ובמונח ישרים "בלתי נחתכים" כדי להתייחס לקווים "אולטרה-מקבילים".
המקבילים הגבוליים הללו יוצרים זווית ''θ'' עם ''PB''; זווית זו תלויה רק ב[[עקמומיות גאוס]] של המישור ההיפרבולי בו עוסקים ובמרחק ''PB'' והיא נקראת [[זווית הקבלה|זווית ההקבלה]].
בעבור קווים אולטרה-מקבילים, משפט הקווים האולטרה-מקבילים קובע כי ישנו ישר יחיד במישור ההיפרבולי שניצב לצמד ישרים אולטרה-מקבילים.
== עקביות הגאומטריה ההיפרבולית ==
| |||