גאומטריה היפרבולית – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
←‏עקביות הגאומטריה ההיפרבולית: הרחבה בסיסית קלה של הערך; אם העריכה טעונה שיפור אודה אם ישכתבו אותי.
תגית: הוספת תבנית לשינויים בערך
שורה 33:
 
בעבור קווים אולטרה-מקבילים, משפט הקווים האולטרה-מקבילים קובע כי ישנו ישר יחיד במישור ההיפרבולי שניצב לצמד ישרים אולטרה-מקבילים.
 
=== משולשים ===
בשונה ממשולשים אוקלידיים, בהם הזוויות תמיד נסכמות ל-π [[רדיאן|רדיאנים]] (180 מעלות), בגאומטריה היפרבולית סכום הזוויות של משולש היפרבולי תמיד קטן מ-π רדיאנים. את ההבדל מכנים '''מגרעת זוויתית'''.
 
השטח של משולש היפרבולי ניתן על ידי מכפלת המגרעת הזוויתית שלו (ברדיאנים) ב-''R''<sup>2</sup> (כאן ''R'' הוא [[רדיוס עקמומיות|רדיוס העקמומיות]] המתאים למישור ההיפרבולי הנידון). כתוצאה ישירה, לכל המשולשים ההיפרבוליים יש שטח שקטן או שווה ל-''R''<sup>2</sup>π. השטח של [[משולש אידיאלי]] (משולש שכל צלעותיו אסימפטוטיות זו לזו) שבו כל הזוויות הן 0° שווה לחסם העליון הזה. בכך נעוץ אחד ההבדלים המרכזיים בין הגאומטריה ההיפרבולית לאוקלידית - לגאומטריה היפרבולית יש [[קנה מידה]] אבסולוטי טבעי; קיים קשר בין תוצאות מדידות של מרחק לתוצאות מדידת זוויות.
 
בדומה ל[[גאומטריה כדורית]] או אליפטית, בגאומטריה היפרבולית אם שני משולשים [[דמיון (גאומטריה)|דומים]] אז הם בהכרח [[חפיפה|חופפים]].
 
== עקביות הגאומטריה ההיפרבולית ==