גאומטריה היפרבולית – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 10:
ל[[ישר]]ים יחידים בגאומטריה היפרבולית יש בדיוק אותן תכונות כמו קווים ישרים בגאומטריה אוקלידית. לדוגמה, שתי נקודות מגדירות ישר היפרבולי יחיד, וניתן להמשיך את הישרים (לשני הכיוונים) במידה אינסופית.
לזוג ישרים נחתכים יש בדיוק אותן תכונות כמו לזוג ישרים נחתכים בגאומטריה אוקלידית. למשל, שני ישרים לעולם לא נחתכים ביותר מנקודה אחת, [[זוויות קודקודיות|הזוויות הקודקודיות]] שנוצרות בנקודת החיתוך שוות, וכמו כן זוויות צמודות
כאשר מוסיפים ישר שלישי אז התכונות של ישרים היפרבוליים נחתכים הופכות שונות מאלו של ישרים נחתכים בגאומטריה אוקלידית. לדוגמה, בהינתן 2 ישרים נחתכים ישנם אינסוף ישרים היפרבוליים שאינם חותכים את אף אחד מצמד הישרים הנתונים.
שורה 37:
בשונה ממשולשים אוקלידיים, בהם הזוויות תמיד נסכמות ל-π [[רדיאן|רדיאנים]] (180 מעלות), בגאומטריה היפרבולית סכום הזוויות של משולש היפרבולי תמיד קטן מ-π רדיאנים. את ההבדל מכנים '''מגרעת זוויתית'''.
השטח של משולש היפרבולי ניתן על ידי מכפלת המגרעת הזוויתית שלו (ברדיאנים) ב-''R''<sup>2</sup> (כאן ''R'' הוא [[רדיוס עקמומיות|רדיוס העקמומיות]] המתאים למישור ההיפרבולי הנידון). כתוצאה ישירה, לכל המשולשים ההיפרבוליים יש שטח שקטן או שווה ל-''R''<sup>2</sup>π. השטח של [[משולש אידיאלי]] (משולש שכל צלעותיו אסימפטוטיות זו לזו) שבו כל הזוויות הן 0° שווה לחסם העליון הזה. בכך נעוץ אחד ההבדלים
בדומה ל[[גאומטריה כדורית]] או אליפטית, בגאומטריה היפרבולית אם שני משולשים [[דמיון (גאומטריה)|דומים]] אז הם בהכרח [[חפיפה|חופפים]].
| |||