שורש (של פונקציה) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ הוספת פרק קישורים חיצוניים + תבנית:MathWorld (בערכים בהם אין קישורים חיצוניים) (תג) (דיון) |
←שורש של פולינום: הרחבה תגיות: עריכה ממכשיר נייד עריכה מיישום נייד עריכה מאפליקציית אנדרואיד |
||
שורה 14:
[[המשפט היסודי של האלגברה]] קובע ש[[שדה המספרים המרוכבים]] הוא [[שדה סגור אלגברית|סגור אלגברית]], כלומר שלכל [[פולינום]] ממעלה n במקדמים מרוכבים, יש בדיוק n שורשים כולל ריבוי.
=== פונקציית זטא של רימן ===
[[פונקציית זטא של רימן]] מוגדרת כך:
<math>\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots</math>
למשל, פונקציית זטא מקבלת את הערכים הבאים:
<math>\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}</math> ([[בעיית בזל]]),
<math>\zeta(3) = \frac{1}{1^3} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \cdots \approx 1.20205\ldots</math>
([[קבוע אפרי]]).
הפונקצייה מוגדרת היטב, ו[[טור (מתמטיקה)|מתכנסת בהחלט]] עבור כל ערך מרוכב של s, שהחלק הממשי שלו גדול מאחד. אך עבור כל ערך אחר של s, הפונקצייה [[גבול (מתמטיקה)|מתבדרת]].
ניתן להמשיך את הפונקצייה אנליטית כדי לקבל [[פונקציה מרוכבת]]. פונקציית זטא של רימן מוגדרת כך, עבור כל s שנמצא ב"רצועה הקריטית" (החלק הממשי של s הוא בין 0 ל-1) ומחוצה לה:
<math>\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\ \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\ \Gamma(1-s)\ \zeta(1-s).</math>
כאשר <math>\Gamma(s)</math> היא [[פונקציית גמא]].
פונקציית זטא של רימן ידועה בשל הקשר שלה ל[[התפלגות]] של [[מספר ראשוני|המספרים הראשוניים]].
[[מכון קליי למתמטיקה]] הכריז בשנת [[2000]] על [[השערת רימן]] כבעיה פתוחה, שפתרונה מזכה בפרס כספי של מיליון [[דולר אמריקני|דולר]] ([[בעיות המילניום של מכון קליי]]).
[[השערת רימן]] גורסת שכל האפסים הלא טריוויאלים ('''השורשים''' של פונקציית זטא, שאינם מספרים זוגים שליליים) נמצאים על "הישר הקריטי" Re(s)=0.5.
==קישורים חיצוניים==
| |||