הקבוצה הריקה – הבדלי גרסאות

הוסרו 11,565 בתים ,  לפני 3 שנים
מ (הוספת פרק קישורים חיצוניים + תבנית:MathWorld (בערכים בהם אין קישורים חיצוניים) (תג) (דיון))
תגיות: החלפה עריכה חזותית ריקון
[[קובץ:Empty set.svg|שמאל|ממוזער|100px|סמלה של הקבוצה הריקה]]
'''הקבוצה הריקה''' היא [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] שאין בה [[איבר (מתמטיקה)|איבר]]ים, והיא מסומנת בסימן <math>\emptyset</math> (שמקורו באות ה[[נורווגית]] "&Oslash;"{{הערה|1=[http://jeff560.tripod.com/set.html Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic]}}, אין קשר לאות היוונית [[פי]]) או בצורה {}.
 
במסגרת ה[[אקסיומה|אקסיומות]] של [[תורת הקבוצות]] נכללת '''אקסיומת הקיום''': קיימת קבוצה ''A'' כך שלא קיים <math>\ x </math> עבורו <math>x \in A</math>. כלומר, אקסיומה זו קובעת שקיימת קבוצה ריקה.
 
על-פי [[תורת הקבוצות האקסיומטית|אקסיומת היחידות]] ניתן להוכיח את יחידות הקבוצה הריקה, כלומר קיימת רק אחת כזו.
 
==תכונות של הקבוצה הריקה==
* לכל קבוצה A, הקבוצה הריקה היא [[תת-קבוצה]] של A:
: <math>\empty \subseteq A</math>
* לכל קבוצה A, ה[[איחוד (מתמטיקה)|איחוד]] של A עם הקבוצה הריקה שווה ל-A:
: <math>A \cup \empty = A</math>
* לכל קבוצה A, ה[[חיתוך (מתמטיקה)|חיתוך]] של A עם הקבוצה הריקה שווה לקבוצה הריקה:
: <math>A \cap \empty = \empty </math>
* ה[[משלים (מתמטיקה)|משלים]] של הקבוצה הריקה הוא [[הקבוצה האוניברסלית]]:
: <math>\!\, \emptyset'=U</math>
* תת-הקבוצה היחידה של הקבוצה הריקה היא הקבוצה הריקה. [[קבוצת החזקה]] שלה היא [[יחידון]] הכולל את הקבוצה הריקה בלבד.
* ה[[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמה]] של הקבוצה הריקה היא אפס, ובפרט: הקבוצה הריקה היא [[קבוצה סופית]].
* לכל קבוצה ''A'' קיימת בדיוק [[פונקציה]] אחת <math>f:\empty \rightarrow A</math> (הלוא היא [[הפונקציה הריקה]], שאין בה זוגות סדורים כלל). אם A אינה ריקה, אז אין פונקציות <math>f:A \rightarrow \empty</math>.
* בכל [[מרחב טופולוגי]] הקבוצה הריקה היא הן [[קבוצה פתוחה]] והן [[קבוצה סגורה]].
* במונחים של [[קטגוריה (מתמטיקה)|תורת הקטגוריות]], הקבוצה הריקה היא [[אובייקט התחלתי]] בקטגוריה של קבוצות.
* הקבוצה הריקה היא [[קבוצה ממידה אפס]].
 
==חשיבות הקבוצה הריקה במתמטיקה==
 
המתמטיקה שואפת להשתמש במספר קטן ככל האפשר של הנחות יסוד ([[אקסיומה|אקסיומות]]) ושל הגדרות יסוד. [[תורת הקבוצות]] מבוססת על מושג אטומי אחד, מושג הקבוצה, ועל [[יחס בינארי|יחס]] אחד - [[יחס השייכות]]. אחת האקסיומות במערכת [[אקסיומות צרמלו-פרנקל|צרמלו-פרנקל]] קובעת שיש קבוצה ריקה ("קיים x כך שלכל y, לא נכון ש-<math>\ y\in x</math>", כלומר, יש קבוצה שאין לה איברים), והגדרת השוויון מבטיחה שקבוצה זו היא יחידה (לכל שתי קבוצות ריקות יש בדיוק אותם איברים).
 
הקבוצה הריקה משמשת מעין 'אבן בניין' שממנה ניתן לבנות קבוצות רבות נוספות, מה שהופך אותה במובן מסוים לעצם היסודי והבסיסי ביותר במתמטיקה. כך לדוגמה ניתן להגדיר את <math>\ \{\emptyset\}</math> (הקבוצה המכילה את הקבוצה הריקה) ואת <math>\ \{\{\emptyset\}\}</math> (הקבוצה המכילה את הקבוצה המכילה את הקבוצה הריקה). באמצעות בניות בנוסח זה ניתן לבנות הגדרות למושגים בסיסיים במתמטיקה כגון [[מספר]]ים, [[פונקציה|פונקציות]] ואובייקטים [[גאומטריה|גאומטריים]] כגון נקודות, קוים ומעגלים.
 
===מספרים===
בשנת 1923 הציג [[ג'ון פון נוימן]] שיטה (המכונה [[מספר סודר|מספור סודר]]) לבניית ה[[מספר טבעי|מספרים הטבעיים]] המבוססת על הקבוצה הריקה:
 
<div style="direction:ltr; text-align:left;">
: <math>0 = \emptyset</math> (הקבוצה הריקה)
: <math>1 = \{0\} = \{ \emptyset \}</math>
: <math>2 = \{0,1\} = \{ \emptyset, \{ \emptyset \} \}</math>
: <math>3 = \{0,1,2\} = \{ \emptyset, \{ \emptyset \}, \{ \emptyset, \{ \emptyset \} \} \}</math>
: <math>4 = \{0,1,2,3\} = \{ \emptyset , \{ \emptyset \}, \{ \emptyset, \{ \emptyset \} \} , \{ \emptyset, \{ \emptyset \}, \{ \emptyset, \{ \emptyset \} \} \} \}</math>
: <math>\ n+1 = n\cup \left\{n\right\}</math>
</div>
 
באמצעות המספרים הטבעיים ניתן לבנות את כל [[מערכת מספרים|מערכות המספרים]] החשובות: את ה[[מספר שלם|מספרים השלמים]] (שנבנים בתור [[זוג סדור]] של מספרים טבעיים - כך שהמספר השלם הוא כביכול תוצר החיסור של המספר השני מהמספר הראשון), ה[[מספר רציונלי|מספרים הרציונליים]] (כזוגות סדורים של מספרים שלמים), ה[[שדה המספרים הממשיים|מספרים הממשיים]] (כ[[גבול (מתמטיקה)|גבול]] ל[[סדרה|סדרות]] של מספרים רציונליים) ואת [[מספר מרוכב|המספרים המרוכבים]] (כזוגות סדורים של מספרים ממשיים). באמצעות ה[[מערכת צירים קרטזית|שיטה הקרטזית]] ניתן להגדיר מונחים בגאומטריה באמצעות מספרים: [[נקודה (גאומטריה)|נקודה]] במרחב n ממדי מוגדרת כקבוצה סדורה של n מספרים ממשיים, קו מוגדר כאוסף נקודות, וכן הלאה.
 
===משחקים===
המתמטיקאי [[ג'ון הורטון קונוויי]] פיתח בנייה הקרויה '[[מספרים סוריאליסטיים]]' שלה שימושים רבים בתיאור [[משחק אסטרטגיה אבסטרקטי|משחקי אסטרטגיה]] (כמו [[נים (משחק)|נים]], [[איקס-עיגול]], [[הקס (משחק)|הקס]], [[דמקה]] ו[[שחמט]]) ומבוססת אף היא על תורת הקבוצות ועל הקבוצה הריקה.
 
הבנייה של קונויי משמשת לתיאור משחקים בהם יש שני שחקנים, ולא מעורבים בהם מזל (כמו ב[[משחקי קובייה]]) או חוסר ידיעה (כמו במשחק [[טקטיקו]]). בבנייה זו כל מצב במשחק מתואר באמצעות שתי קבוצות, הראשונה מתארת את המצבים שאליהם יכול להגיע השחקן הראשון אם זה תורו, והשנייה מתארת את המצבים אליהם יכול להגיע השחקן השני אם זה תורו. המצב הבסיסי במשחק הוא:
 
<math> 0 = \{\emptyset|\emptyset\}</math>
 
שפירושו שלאף שחקן אין מהלכים אפשריים, כלומר מי שתורו לשחק מפסיד. ומכאן ניתן לבנות מצבים נוספים, לדוגמה:
 
<math> 1 =\{\emptyset|\{\emptyset|\emptyset\}\}= \{\emptyset|0\}</math>
 
הוא מצב שבו לשחקן הראשון יש מהלך שמביא את המשחק למצב האפס, ואילו לשחקן השני אין מהלך לבצע. למצבים מעין זה ניתן להצמיד ערך מספרי שפרושו כמה מהלכים עודפים יש לשחקן הראשון לבצע, יחסית לשחקן השני. על מצבים כאלה ניתן לערוך פעולות חשבון כמו חיבור וכפל, בדומה למספרים רגילים. מנגד אפשר לתאר בבניה של קונויי גם מצבים שלא ניתן להצמיד להם ערך מספרי רגיל, כמו המצב:
 
<math> 1* =\{\emptyset|\emptyset\}|\{\emptyset|\emptyset\}\}= \{0|0\}\}</math>
 
שפירושו שלשני השחקנים יש מהלך אחד אפשרי המביא את המשחק למצב האפס, שממנו מפסיד היריב; במילים אחרות - מי שתורו לשחק מנצח.
 
==הקבוצה הריקה בפילוסופיה==
לאורך הדורות פילוסופים רבים דנו בקיום ובמשמעות של הקבוצה הריקה, של ה'כלום', ומושג זה שיחק לעיתים תפקיד חשוב בתורה שלהם.
 
[[פילוסופיה יוונית|הפילוסוף היווני]] [[פרמנידס]] ([[המאה ה-5 לפנה"ס]]) טען ש'כלום' לא יכול להתקיים, שכן לא ניתן להתייחס לדברים אלא אם כן הם קיימים. מתוך שלילת הקבוצה הריקה שלל פרמנידס את האפשרות של יצירה של דברים 'יש מאין' או היעלמות של דברים, והמשיך לשלול כל תנועה או שוני. [[הפרדוקסים של זנון]] נבנו על ידי תלמיד של פרמנידס, שהביא ראיות נוספות לתורה של מורו בדרך השלילה: הוא הניח שתנועה קיימת והראה שהנחה זאת מובילה לסתירות. [[אריסטו]] אמר על תורתו של פרמנידס שלמרות שנראה שהטענות שלו מבוססות על הגיון לוגי מוצק, להאמין לתוצאות (שלא קיימים תנועה או שוני בעולם) גובל בטירוף.
 
[[האסכולה האטומיסטית|הפילוסופים האטומיסטים]], כמו [[לוקיפוס]] ו[[דמוקריטוס]] קיבלו את טענותיו של פרמנידס שלפיהן ללא 'כלום' תנועה לא יכולה להתקיים, וביססו את התורות שלהם על מבנה החומר על ההנחה שבין החלקיקים היסודיים ישנו 'כלום'. גם [[אריסטו]] התייחס לנקודה זאת בכך שהוא הבדיל בין 'חומר' ל'מרחב' וכך איפשר למרחב ריק מחומר להתקיים. הקשר בין קיומו של 'כלום' לבין מבנה החומר והדינמיקה שלו המשיך להעסיק פילוסופים כגון [[רנה דקארט]] ו[[בלז פסקל]], וכן ממלא תפקיד חשוב בתורות פיזקליות כמו [[מכניקה ניוטונית]], [[תורת הקוונטים]] ו[[יחסות כללית]].
 
הכלום מופיע כבר בפתיחת ספרו של [[גיאורג וילהלם פרידריך הגל]], מחשובי הפילוסופים של [[עידן האורות]], 'לוגיקה'. ספר זה נפתח בתזה - 'המוחלט הוא ישות טהורה', באנטיתזה 'המוחלט הוא כלום' ובסינתזה 'המוחלט הוא בהיווצרות'.
 
בפילוסופיות מזרחיות, כגון [[בודהיזם]], כלום משחק תפקיד חשוב כמצב תודעתי רצוי.
 
==ראו גם==
*[[תורת הקבוצות - מונחים]]
{{תורת הקבוצות}}
 
==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}
 
==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}
[[קטגוריה:תורת הקבוצות]]
[[קטגוריה:אפס]]
משתמש אלמוני