משוואת דיראק – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Beyond doubt (שיחה | תרומות) |
Beyond doubt (שיחה | תרומות) סידור מחדש של הערך והוספה של פסקה פיתוח המשוואה |
||
שורה 7:
:<math>\ E^2=m^2c^4+p^2c^2</math>
כאשר <math>\ m</math> היא [[מסת מנוחה|מסת המנוחה]] של החלקיק, <math>\ c</math> היא [[מהירות האור]] בריק, ו-<math>\ p</math> הוא
:<math>-\hbar^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}=(m^2c^4-c^2\hbar^2\nabla^2)\psi</math>
הקבוע <math>\hbar</math> הוא [[קבוע פלאנק]]. משוואה זאת היא הכללה ישירה של משוואת שרדינגר. עם זאת, הנגזרת השנייה לפי הזמן במשוואה זאת מצריכה תנאי התחלה על הנגזרת של פונקציית הגל, ולכן אי אפשר להגדיר צפיפות הסתברות שהיא גם חיובית וגם האינטגרל שלה נשמר. הבעייתיות של משוואה זאת היוותה את המוטיבציה לפיתוח משוואת דיראק, אך בהמשך נעשה במשוואת קליין-גורדון שימוש בתורת השדות בתור משוואה של חלקיקים עם ספין אפס.
==ניסוח מתמטי==
:<math>
כאשר
*<math>\ \mathbf{x}</math> ו-<math>\ t</math> הן [[קואורדינטות]] המרחב והזמן בהתאמה.
*<math>\psi=\psi(x,t) </math> היא פונקציית הגל של אלקטרון עם מסת מנוחה m
:<math>H=(\boldsymbol{\alpha} \cdot \mathbf{p})c+\beta mc^2</math>▼
*p<sub>1</sub>,p<sub>2</sub>,p<sub>3</sub> הם רכיבי ה[[תנע]], במובן של אופרטור התנע ב[[משוואת שרדינגר]]
*c הוא [[מהירות האור]] בריק
*ו ħ הוא [[קבוע פלאנק המצומצם]].
:<math>\alpha_i^2=\beta^2=1</math>▼
האלמנטים החדשים במשוואה הם המטריצות מסדר 4 על 4: <math>\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}</math> ו-<math>\beta</math>.
:<math>\ \lbrace \alpha_i,\alpha_j \rbrace = 2\delta_{ij}</math>▼
ארבעת המטריצות הן [[אופרטור הרמיטי|הרמיטיות]], והריבוע שלהן שווה למטריצת היחידה:
בנוסף הן מקיימות את יחס האנטי חילופיות (אם i ו-j שונים):
:<math>\alpha_i\beta + \beta\alpha_i = 0</math>
בכתיב דיראק המשוואה נכתבת כך:
אופרטורים המקיים את הדרישות הללו חייבים, בהצגה מטריצית, להיות מיוצגים על ידי מטריצות 4X4 לפחות. לא ניתן למצוא סט של ארבע מטריצות בלתי תלויות מסדר נמוך יותר שכולן מקיימות את האנטי-חילופיות. הפרשנות הפיזיקלית של <math>\boldsymbol{\alpha}, \beta</math> היא שהם אופרטורים הפועלים במרחב המכפלה בין אופרטורי [[בורגיות]] לבין אופרטורי ה[[ספין]]. קיימות הצגות שקולות לאופרטורים הללו, והמעבר בין ההצגות שקול לטרנספורמצית סיבוב במרחב הדו ממדי של הבורגיות. בהצגה הסטנדרטית:▼
▲:<math>
===פיתוח המשוואה===
דיראק חשב לנסות משוואה מסדר ראשון הן בזמן והן במרחב. אפשר למשל, ע"י התעללות בסימון (abuse of notation), לקחת את הקשר היחסותי בין תנע לאנרגיה
:<math>,E = c\sqrt{p^2 + m^2c^2}</math>
להחליף את p באופרטור מדידת התנע, ולפתוח את השורש לסדרה אינסופית של אופרטורי גזירה. רוב הפיזיקאים לא כל כך האמינו בכיוון הזה, אפילו אם טכנית היה אפשרי.
האגדה מספרת, כי דיראק בהה באח הבוערת בקיימברידג', מהרהר בבעיה, כאשר הבריק לו הרעיון של לקחת את השורש של אופרטור הגל:
:<math>\nabla^2 - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} = \left(A \partial_x + B \partial_y + C \partial_z + \frac{i}{c}D \partial_t\right)\left(A \partial_x + B \partial_y + C \partial_z + \frac{i}{c}D \partial_t\right)</math>
כאשר מכפילים את האגף הימני אפשר לראות שכדי שכל האיברים מהצורה <math>\partial_x \partial_y</math> ייעלמו, עלינו להניח כי:
:<math>AB+BA=0, \;\ldots</math>
וכן ש:
:<math>.A^2=B^2=\ldots=1</math>
דיראק, שהיה אז מעורב מאוד בהנחת היסודות למכניקת המטריצות של הייזנברג, הבין מייד שההנחות הללו יוכלו להתקיים אם <math>A</math> ,<math>B</math> ,<math>C</math> ו-<math>D</math> הם מטריצות. המשמעות היא שלפונקציית הגל יש מספר רכיבים, מה שמסביר מדוע מופיעה פונקציית גל עם שני רכיבים בתיאוריית הספין של פאולי, מה שעד אז אפילו פאולי בעצמו החשיב כמסתורי. עם זאת על המטריצות להיות ממימדים של 4x4 לפחות, לא ניתן למצוא סט של ארבע מטריצות בלתי תלויות ממימד נמוך יותר שמקיימות את ההנחות ההלו, כך שלפונקציית הגל יש 4 רכיבים ולא שניים כמו בתיאורייה של פאולי או אחד כמו בתיאורייה של שרדינגר. פונקציית הגל עם ארבעת הרכיבים, היא סוג חדש של אובייקט מתמטי שמופיע כאן לראשונה.
באמצעות השורש של אופרטור הגל, ניתן כעת לכתוב משוואה
:<math>\left(A\partial_x + B\partial_y + C\partial_z + \frac{i}{c}D\partial_t\right)\psi = \kappa\psi</math>
כאשר עדיין צריך לקבוע מהו <math>.\kappa</math> אם נפעיל את האופרטור פעם נוספת על שני אגפי המשוואה נקבל:
:<math>\left(\nabla^2 - \frac{1}{c^2}\partial_t^2\right)\psi = \kappa^2\psi.</math>
אם נקבע ש <math>\kappa=\frac{mc}{\hbar}</math>, נקבל שפונקציית הגל מקיימת את הקשר היחסותי בין תנע לאנרגיה.
כך שהמשוואה המבוקשת שהינה מסדר ראשון הן בזמן והן במרחב היא
:<math>.\left(A\partial_x + B\partial_y + C\partial_z + \frac{i}{c}D\partial_t - \frac{mc}{\hbar}\right)\psi = 0</math>
נציב
:<math>A = i \beta \alpha_1 \, , \, B = i \beta \alpha_2 \, , \, C = i \beta \alpha_3 \, , \, D = \beta \, , </math>
ומכיוון ש <math>,D^2=\beta^2=I_4</math>
מתקבלת משוואת דיראק שרשומה למעלה.
== כתיב יחסותי ==▼
את משוואות דיראק ניתן לכתוב בצורה אינווריאנטית [[טרנספורמציות לורנץ|לורנץ]] ובעלת סימטריה בין הזמן למרחב, באמצעות [[מטריצות גאמה של דיראק]]. המשוואה היא▼
<math display="block">\ \left( i \hbar \gamma^\mu \partial_\mu - m c \right) \psi = 0</math>▼
או ביחידות בהן <math>\ \hbar = 1 = c</math>▼
<math display="block">\ \left( i \gamma^\mu \partial_\mu - m \right) \psi = 0</math>▼
ה[[לגראנז'יאן]] של דיראק הוא▼
<math display="block">\ \mathcal{L} = \bar{\psi} \left( i \hbar c \gamma^\mu \partial_\mu - mc^2 \right) \psi</math>▼
כאשר <math>\bar{\psi} = \psi^\dagger \gamma^0</math>.▼
==פרשנות פיזיקלית==
▲
:<math>\alpha_j = \rho_1 \otimes \sigma = \begin{pmatrix} 0 & \boldsymbol{\sigma}_j \\ \boldsymbol{\sigma}_j & 0 \end{pmatrix}</math>
שורה 35 ⟵ 83:
:<math>\beta = -\rho_1 \otimes \mathbf{1}</math>
כאן <math>\mathbf{1}</math> מסמל את אופרטור היחידה במרחב הדו ממדי, והאופרטור <math>\sigma = \frac{2}{\hbar} S</math> מיוצג על ידי [[מטריצות פאולי]].
===פתרונות שליליים לאנרגיה===▼
▲המשוואה המתקבלת מההמילטוניאן של דיראק היא
▲:<math> \left(\beta mc^2 + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j p_j \, c\right) \psi (\mathbf{x},t) = i \hbar \frac{\partial\psi}{\partial t} (\mathbf{x},t) </math>
▲==פתרונות שליליים לאנרגיה==
▲ההמילטוניאן של דיראק כולל את המכפלה <math>\boldsymbol{\alpha \cdot p}</math>. מכיוון שהערכים העצמיים של מטריצות פאולי הם <math>\pm 1</math>, הרי שהפתרונות לאנרגיה יכולים לקבל ערכים שליליים. יתרה מכך, האנרגיה של המערכת לא חסומה מלמטה כלומר למערכת כזאת אין מצב יסוד, פתרון שאיננו מתקבל על הדעת מבחינה פיזיקלית.
תוצאה מוזרה זו הובילה את דיראק למסקנה כי מצב היסוד של המערכת, או מצב הריק, הוא מצב שבו כל מצבי האנרגיה השליליים מאוכלסים ([[הים של דיראק]]). במצב שבו כל הרמות השליליות מאוכלסות, [[עקרון האיסור של פאולי]] ימנע מ[[פרמיון]] מלרדת לרמות האנרגיה הנמוכות.
שורה 63 ⟵ 93:
עובדת קיום החלקיקים החיוביים אומתה בניסוי עם גילוי ה[[פוזיטרון]] בשנת [[1932]]. כשנשאל דיראק מדוע לא העז וחזה את קיום הפוזיטרון ענה "פחדנות לשמה!".
▲== כתיב יחסותי ==
▲את משוואות דיראק ניתן לכתוב בצורה אינווריאנטית [[טרנספורמציות לורנץ|לורנץ]] באמצעות [[מטריצות גאמה של דיראק]]. המשוואה היא
▲<math display="block">\ \left( i \hbar \gamma^\mu \partial_\mu - m c \right) \psi = 0</math>
▲או ביחידות בהן <math>\ \hbar = 1 = c</math>
▲<math display="block">\ \left( i \gamma^\mu \partial_\mu - m \right) \psi = 0</math>
▲ה[[לגראנז'יאן]] של דיראק הוא
▲<math display="block">\ \mathcal{L} = \bar{\psi} \left( i \hbar c \gamma^\mu \partial_\mu - mc^2 \right) \psi</math>
▲כאשר <math>\bar{\psi} = \psi^\dagger \gamma^0</math>.
== ראו גם ==
{|
| |||