מתאם פירסון – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
הפרדה בין הגדרה לתכונות, מחיקת התפלפלות מתמטית מיותרת |
|||
שורה 4:
הרעיון הבסיסי למקדם המתאם הוצע על ידי [[פרנסיס גולטון|פרנסיס גאלטון]] בשנות השמונים של המאה ה-19, שניסה למדוד קשרים בין משתנים תצפיתיים. קרל פירסון גיבש את רעיונותיו של גאלטון והציג את הנוסחה המקובלת כיום בראשית המאה העשרים. [[רונלד פישר]] חישב את התפלגותו של מקדם המתאם כאשר מקור התצפיות בהתפלגות נורמלית, ואיפשר בכך [[הסקה סטטיסטית]] על ערכו התאורטי של המקדם.
== הגדרה
מבחינה מתמטית, המתאם הליניארי בין שני [[משתנה מקרי|משתנים מקריים]] ''X'' ו-''Y'' עם [[תוחלת|תוחלות]] μ<sub>''X''</sub> ו-μ<sub>''Y''</sub> ו[[סטיית תקן|סטיות תקן]] σ<sub>''X''</sub> ו-σ<sub>''Y''</sub> מוגדר על פי הנוסחה הבאה:
שורה 12:
כאשר ''E'' מציין [[תוחלת]] ו-cov מציין [[שונות משותפת]]. מההגדרה ניתן לראות כי מקדם המתאם הוא סימטרי, כלומר מקדם המתאם בין ''X'' ל-''Y'' שווה בערכו למקדם המתאם בין ''Y'' ל-''X''. כמו כן, מכיוון שלפי ההגדרה במכנה הנוסחה מופיעות סטיות התקן של המשתנים ''X'' ו-''Y עולה כי המקדם'' מוגדר אך ורק אם שתי סטיות התקן הן סופיות ולא אפסיות.
== תכונות ==
בעזרת [[אי-שוויון קושי-שוורץ]], ניתן להוכיח כי ערכו של מקדם המתאם חסום בין 1 ל־-1.
שורה 27 ⟵ 24:
יש לשים לב כי ייתכן מצב בו ''X'' ו-''Y'' אינם בלתי תלויים במובן ההסתברותי, אך מקדם המתאם ביניהם בכל זאת שווה לאפס. עם זאת כאשר ל-''X'' ול-''Y'' יש [[התפלגות דו-נורמלית|התפלגות משותפת דו-נורמלית]] אזי אם מקדם המתאם ביניהם שווה לאפס נובע מכך כי משתנים אלה הינם בלתי תלויים.
== הגדרה סטטיסטית ==
ניתוחים סטטיסטיים מסתמכים בדרך כלל על מדגם של נתונים מתוך אוכלוסייה. במקרה כזה בו קיימים נתוני המדגם ניתן [[אמידה|לאמוד]] את מקדם המתאם של פירסון באופן הבא:
שורה 34 ⟵ 31:
כאשר <math>\bar{x}</math> הוא ממוצע ערכי <math>x</math> ו-<math>\bar{y}</math> ממוצע ערכי <math>y</math>, והסכימה היא על כל ערכי הנתונים מהמדגם.
יש להדגיש כי למרות שהחישוב על פי הנוסחא מתאפשר כאשר X ו-Y מקבלים ערכים מספריים כלשהם,
באופן דומה להוכחה לגבי הערך התאורטי של מקדם המתאם, ניתן להוכיח כי ערכו של האמד ''R'' נע בין 1- ל-1, וכי הערך 1 יתקבל כאשר יש קשר ליניארי חיובי מלא בין המשתנים, והערך 1- יתקבל כאשר יש קשר ליניארי שלילי מלא בין המשתנים. עם זאת, במקרים רבים יימצאו קשרים בערכי ביניים בין שני ערכי הקיצון, וערכים אלה נתונים לפרשנות. לדוגמה: אם ערכו של ''R'' שווה ל-0.8, הפרשנות המקובלת היא כי בין שני המשתנים קיים קשר ליניארי חיובי בעוצמה גבוהה. מקובל לפרש את ערכי מקדם המתאם באופן הבא:
| |||