חוג אוקלידי – הבדלי גרסאות

'''הוכחה'''. אם I אידאל שאינו אפס, אז קיים בו איבר a שדרגתו הקטנה ביותר מבין כל אברי I (כמובן, a אינו האיבר היחיד בעל תכונה זו). מיד נובע ש- <math>\ Da\subseteq I</math>. נניח שקיים ב- I איבר, למשל c, שאיננו מתחלק ב- a; חילוק עם שארית יתן <math>\ c=qa+r</math> כאשר <math>\ d(r)<d(a)</math>. אולם <math>\ r=c-qa\in I</math> הוא איבר של האידאל, וזה סותר את בחירת a כאיבר בעל דרגה מינימלית שם.<br />

''''מחלק משותף גדול ביותר'''': ניקח שני איברים a,b בתחום האוקלידי, (a),(b) הם האידיאליים שהם יוצרים. החיתוך שלהם הוא כמובן אידיאל, ומשום שתחום אוקלידי הוא תחום ראשי, הוא אידיאל ראשי, ולכן יש לו יוצר. היוצר הזה הוא מחלק המשותף הגדול ביותר. עם זאת, הוא איננו בהכרח המחלק המשותף היחיד, ייתכנו עוד כאלו, אבל אם x,y שניים כאלו, אז קיים u הפיך כך ש- x=uy, כלומר, הם נבדלים רק במכפלה בהפיך.