אינדקס שזירה – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
תגיות: עריכה ממכשיר נייד עריכה מיישום נייד עריכה מאפליקציית אנדרואיד |
|||
שורה 47:
אף על פי שהאינטגרל הכפול עושה שימוש ישיר במנח של שתי המסילות במרחב (כך שניתן לצפות לשינוי בערכו אם מזיזים מעט את הלולאות), תוצאתו לא תלויה כלל במנח הלולאות, אלא רק בדרגת השזירה שלהן. זוהי דוגמה חשובה למה שמכונה [[הומוטופיה|עקרון-הומוטופיה]] (h-principle), שגורס כי קיימים מקרים בהם גאומטריה מצומצמת לטופולוגיה.
== היסטוריה ==
להגדרה האנליטית של גאוס לאינדקס השזירה יש שורשים היסטוריים הן בעיסוקיו כאסטרונום והן בעיסוקיו כמתמטיקאי ופיזיקאי. ב-1804 הוא פרסם חיבור קצר שכותרתו "על קביעת גבולות המיקומים הגאוצנטריים של הפלנטות", בו עסק בבעיה שפתרונה הוא בעל ערך מיידי לעבודתו של האסטרונום: קביעת התחום השמיימי בו כוכבי לכת, אסטרואידים ושביטים עשויים להופיע, תחום אותו הוא מכנה zodiacus. כדי למצוא את גבולות התחום הזה, הוא גזר [[משוואה דיפרנציאלית]] שמקיימת השפה של ה-zodiacus; המשוואה שהתקבלה הייתה [[תבנית דיפרנציאלית]] הזהה למונה שבאינטגרנד של אינטגרל השזירה. בחיבורו, ציין גאוס 3 מקרים אפשריים למצב ההדדי של מסלול כדור הארץ ומסלול העצם הנצפה: כאשר המרחק המינימלי של העצם מן השמש גדול מהמרחק המקסימלי של כדור הארץ מהשמש, ההפך, וכאשר שני המסלולים ''שזורים'' זה בזה. הוא הראה שבשני המקרים הראשונים, פתרונות המשוואה מייצגים שני עקומים סגורים על ה[[ספירה (גאומטריה)|ספירה]], בעוד שבמקרה השלישי מתקבל עקום סגור יחיד. עם זאת, כפי שגאוס הדגיש, אף לא אחד מהאזורים התחומים על ידי העקום במקרה השלישי יהיה ה-zodiacus - במקרה זה, כך כתב, "מסיבות טופולוגיות ה-zodiacus יהיה הספירה השמיימית כולה". החיבור מסיים בדיון מעמיק בחישוב ה-zodiacus של האסטרואידים החדשים שנתגלו, קרס ופאלאס.
כשלושים שנה מאוחר יותר, גאוס נתקל שוב בתבנית הדיפרנציאלית הזאת בהקשר אחר - במסגרת מחקריו ב[[אלקטרומגנטיות]]. אינטגרל השזירה צץ בעת שמנסים לחשב את ה[[רוטור|סירקולציה]] של ה[[שדה מגנטי|שדה המגנטי]] הנוצר על ידי לולאת זרם, לאורך לולאה אחרת. התבנית הדיפרנציאלית נובעת במקרה זה מיישום [[חוק ביו-סבר]] לחישוב השדה המגנטי.
== הערות שוליים ==
| |||