הבדלים בין גרסאות בדף "מספר אלגברי"

הוסרו 37 בתים ,  לפני שנתיים
אין תקציר עריכה
(הבהרתי כי איטרציה של הגדרת המספרים האלגבראיים, דהיינו הוספת כל שורשי הפולינומים בעלי מקדמים אלגבריים, איננה מרחיבה את שדה המספרים האלגבריים.)
תגיות: עריכה ממכשיר נייד עריכה דרך האתר הנייד
'''מספר אלגברי''' הוא [[מספר מרוכב]] המהווה [[שורש (של פונקציה)|שורש]] של [[פולינום]] בעל מקדמים [[מספר רציונלי|רציונליים]] (או [[מספר שלם|שלמים]], אין הבדל). בפרט, כל מספר רציונלי q הוא אלגברי, משום שהוא פותר את המשוואה <math>\ x-q=0</math>. מספר (מרוכב) שאינו אלגברי נקרא [[מספר טרנסצנדנטי]]. ניתן להוכיח כי שורשי פולינום בעל מקדמים אלגבריים,גם הם אלגבריים, אף אם בין המקדמים מצויים מספרים אלגבריים אירציונליים.
 
אוסף כל המספרים האלגבריים מהווה [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]], הנקרא [[שדה המספרים האלגבריים]]. אוסףשדה המספרים האלגבריים הואזה [[קבוצהשדה בתסגור מנייהאלגברית|בןסגור מנייהאלגברית]],: בעוד שה[[משלים (תורת הקבוצות)|משלים]] לו אינו בן מנייה. [[הוכחת האי-מנייה הראשונההשורשים של קנטור|תכונהפולינום זובעל הוכחה]] על ידי [[גאורג קנטור]]. במובן זה ישנם הרבה יותר מספרים שאינםמקדמים אלגבריים מאשרהם מספריםבעצמם אלגבריים, למרות שבאופן מעשי קשה ביותר להוכיח שמספר נתון (כגון [[e]] או [[פאי]]) אינו אלגברי (להוכחות ראו [[טרנסצנדנטיות של e]] ו[[משפט לינדמן]]).
 
אוסף המספרים האלגבריים הוא [[קבוצה בת מנייה|בן מנייה]], בעוד שה[[משלים (תורת הקבוצות)|משלים]] לו אינו בן מנייה. [[הוכחת האי-מנייה הראשונה של קנטור|תכונה זו הוכחה]] על ידי [[גאורג קנטור]]. במובן זה ישנם הרבה יותר מספרים שאינם אלגבריים מאשר מספרים אלגבריים, למרות שבאופן מעשי קשה ביותר להוכיח שמספר נתון (כגון [[e]] או [[פאי]]) אינו אלגברי (להוכחות ראו [[טרנסצנדנטיות של e]] ו[[משפט לינדמן]]).
 
'''דוגמאות'''.