עקביות (לוגיקה) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שחזור לגרסה 16180421 מתאריך 11:08, 9 בנובמבר 2014 מאת שי אבידן |
פיסוק |
||
שורה 1:
ב[[מתמטיקה]] וב[[לוגיקה]], '''עקביות''' (או '''קונסיסטנטיות''', '''קוהרנטיות''') של מערכת מסוימת פירושה שמערכת זו היא נטולת [[סתירה (לוגיקה)|סתירות]]. ב[[לוגיקה מתמטית]], [[תורה (לוגיקה מתמטית)|תורה]] '''עקבית''' היא כזו שלא נובעת ממנה [[פסוק (לוגיקה מתמטית)|טענה]] והיפוכה. בתורות לא עקביות אפשר להוכיח כל טענה (משום שמהנחות שקריות נובעת כל מסקנה שהיא), ולכן נחשבת עקביות למעלה הכרחית בכל תורה ראויה.
כדי להוכיח שמערכת היא עקבית, מספיק למצוא [[מודל (לוגיקה מתמטית)|מודל]] שמקיים את כל ה[[אקסיומה|אקסיומות]] של המערכת. מודל עבור תורה A הנבנה במסגרת של תורה B מוכיח '''עקביות יחסית''' - אם B עקבית, אז גם A כזו. מודלים כאלו ידועים עבור [[גאומטריה|גאומטריות]] שונות (למשל, שתי הגרסאות ה[[גאומטריה לא אוקלידית|לא אוקלידיות]] של גאומטרית המישור הן עקביות ביחס לגאומטרית המישור האוקלידית), וגם עבור מערכות אקסיומטיות שונות ל[[תורת הקבוצות האקסיומטית|תורת הקבוצות]].
לכל מערכת אקסיומות עקבית יש מודל ([[משפט השלמות של גדל]], 1930). ישנן תורות שבמסגרתן לא ניתן להראות עקביות. דוגמה לכך היא [[תורת המספרים]]. כדי להוכיח עקביות של מערכות כאלה יש להפעיל כלים מתמטיים סבוכים יותר ולהסתמך על תורות אחרות. [[משפט האי שלמות השני]] של גדל קובע שלא ניתן להוכיח את העקביות של תורה [[אריתמטיקה|אריתמטית]] [[תורה אפקטיבית|אפקטיבית]] (שהיא עקבית), במסגרת התורה עצמה.
| |||