|
נסמן ב-<math>[A]</math> [[מטריצה|מטריצת]] המקדמים הסקלריים, ב-<math>\boldmathbf{x}</math> את וקטור המשתנים וב-<math>\boldmathbf{b}</math> את וקטור המקדמים החופשיים:
: <math>
\end{bmatrix},\quad
\boldmathbf{x}=
\begin{bmatrix}
x_1 \\
\end{bmatrix},\quad
\boldmathbf{b}=
\begin{bmatrix}
b_1 \\
המשפט קובע כי למערכת המשוואות <math>A\boldmathbf{x}=\boldmathbf{b}</math> קיים פתרון, [[אם ורק אם]] ה[[דרגה (אלגברה ליניארית)|דרגה של המטריצה]] <math>[A]</math>, שווה לדרגה של המטריצה <math>[A|\boldmathbf{b}]</math>, המתקבלת מהוספת <math>\boldmathbf{b}</math> כעמודה ב-<math>[A]</math>. כלומר, <math>\operatorname{rank}[A]=\operatorname{rank}[A|\boldmathbf{b}]</math>.
כמו כן, כאשר יש פתרונות הם מהווים [[מרחב אפיני]] מממד <math>n-\operatorname{rank}[A]</math> (הזזה של [[מרחב וקטורי]] מאותו ממד). בפרט כאשר <math>n=\operatorname{rank}[A]</math> המרחב הוא אפס ממדי ויש פתרון אחד בלבד. אחרת, יש אינסוף פתרונות.
===חלק ראשון===
הוכחה כי למערכת המשוואות קיים פתרון אם ורק אם הדרגה של <math>[A]</math> שווה לדרגה של <math>[A|\boldmathbf{b}]</math>.
;כיוון אחד של השקילות
נניח כי למערכת <math>A\boldmathbf{x}=\boldmathbf{b}</math> יש פתרון <math>\boldmathbf{c}</math>. כלומר, מתקיים כי <math>A\boldmathbf{c}=\boldmathbf{b}</math>.
נבטא זאת באופן מפורש:
\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\ \vdots \\b_m\end{bmatrix}</math>
מכאן ש-<math>\boldmathbf{b}</math> הוא [[צירוף ליניארי]] של העמודות של <math>[A]</math>. כלומר הוא שייך למרחב ש[[פרישה ליניארית|נפרש]] על ידי וקטורי העמודות, ולכן ממד מרחב העמודות (הוא הדרגה של <math>[A]</math>) נשמר כנדרש.
;כיוון שני של השקילות
נניח כי הדרגה אחרי הוספת <math>\boldmathbf{b}</math> זהה. כלומר <math>\dim \mathrm{Span}(\boldmathbf{a_{1}}, \boldmathbf{a_{2}}, \ldots , \boldmathbf{a_{n}})=\dim \mathrm{Span}(\boldmathbf{a_{1}}, \boldmathbf{a_{2}}, \ldots , \boldmathbf{a_{n}}, \boldmathbf{b})</math>, כאשר <math>\boldmathbf{a_1},\boldmathbf{a_{2}},\ldots,\boldmathbf{a_n}</math> הם העמודות של <math>[A]</math>.
<math>\mathrm{Span}(\boldmathbf{a_{1}}, \boldmathbf{a_{2}}, \ldots , \boldmathbf{a_{n}})</math> הוא תת-מרחב וקטורי של <math> \mathrm{Span}(\boldmathbf{a_{1}}, \boldmathbf{a_{2}}, \ldots, \boldmathbf{a_{n}}, \boldmathbf{b})</math>, ומכיוון שממדיהם שווים הם בהכרח שווים.{{הערה|קבוצת וקטורי ה[[בסיס (אלגברה)|בסיס]] של התת-מרחב היא [[תלות ליניארית|בלתי תלויה]] ומספר הווקטורים בה שווה לממד המרחב, ולכן היא פורשת גם את המרחב כולו.}}
הוכחנו ש-<math> \mathrm{Span}(\boldmathbf{a_{1}}, \boldmathbf{a_{2}}, \ldots , \boldmathbf{a_{n}}, \boldmathbf{b})=\mathrm{Span}(\boldmathbf{a_{1}}, \boldmathbf{a_{2}}, \ldots , \boldmathbf{a_{n}})</math>, ולכן <math>\boldmathbf{b}</math> הוא צירוף ליניארי של הווקטורים <math>\boldmathbf{a_1},\boldmathbf{a_{2}},\ldots,\boldmathbf{a_n}</math>. מקדמי הצירוף <math>
{(c_1, c_2, ..., c_n)}</math> מהווים פתרון למערכת המשוואות <math>A\boldmathbf{x}=\boldmathbf{b}</math>.
===חלק שני===
;כיוון ראשון של השקילות
נניח כי עבור המערכת <math>A\boldmathbf{x}=\boldmathbf{b}</math> קיים פתרון יחיד, ונניח בשלילה כי <math>\operatorname{rank}[A]<n</math>.{{הערה|לא ייתכן כי <math>\operatorname{rank}[A]>n</math>, כי קיימים רק n איברים בקבוצה הנפרשת <math>\mathrm{Span}(a_{1}, a_{2}, ... , a_{n})</math>.}}
מההנחה כי <math>\operatorname{rank}[A]<n</math> נובע שעבור המערכת <math>A\boldmathbf{x}=\boldmathbf{0}</math> קיימים לפחות שני פתרונות. זה עומד בסתירה להנחה שלמערכת <math>A\boldmathbf{x}=\boldmathbf{b}</math> יש פתרון יחיד, כי אם <math>\boldmathbf{x}</math> פתרון שלה, הרי שגם אם נוסיף לו כל אחד משני הפתרונות של המערכת שערכה <math>\boldmathbf{0}</math> נקבל את אותה תוצאה.
;כיוון שני של השקילות
נניח כי <math>rank[A]=n</math>, ונניח בשלילה שלמערכת <math>A\boldmathbf{x}=\boldmathbf{b}</math> קיימים שני פתרונות שונים.
מהנתון <math>rank[A]=n</math> נובע כי למערכת <math>A\boldmathbf{x}=\boldmathbf{0}</math> יש פתרון יחיד - הפתרון הטריוויאלי <math>\boldmathbf{0}</math>. אם נבחן את ההפרש של שני הפתרונות של <math>A\boldmathbf{x}=\boldmathbf{b}</math> נקבל גם כן <math>\boldmathbf{0}</math>, ולכן בהכרח שני הפתרונות שווים.
==הערות שוליים==
| 