מחלקה מונוטונית – הבדלי גרסאות

אין שינוי בגודל ,  לפני 3 שנים
אין תקציר עריכה
תגיות: עריכה ממכשיר נייד עריכה דרך האתר הנייד
 
לא קשה לראות שאם מחלקה מונוטונית היא אלגברה, אז היא גם סיגמא-אלגברה, ולכן די להראות כי <math>\mathcal{C}(A)</math> היא אלגברה. אם כך נראה כי היא סגורה ללקיחת משלים ולאיחודים סופיים.
 
תהי <math>E \in \mathcal{C}(A)</math>. נגדיר <math> \mathcal{R}(E) = \left\{F \in \mathcal{C}(\mathcal{A}) |F \cap E, F \cap E^\complement, F^\complement \cap E \in \mathcal{C}(\mathcal{A}) \right\} </math>. לא קשה לראות כי <math>\mathcal{R}(E)</math> מהווה מחלקה מונוטונית וכן כי <math>\emptyset, E \in \mathcal{R}(E)</math> מהיות <math>\mathcal{A}</math> אלגברה. כמו כן ניתן לראות כי לכל <math>E_1,E_2 \in \mathcal{C}(\mathcal{A})</math> מתקיים <math> E_1 \in \mathcal{R}(E_2) \iff E_2 \in \mathcal{R}(E_2E_1)</math>.
 
לכל <math>E \in \mathcal{A}</math>, לכל <math>B \in \mathcal{A}</math> מתקיים כי <math>B \in \mathcal{R}(E)</math> מהיות <math>\mathcal{A}</math> אלגברה. לכן נובע כי <math>\mathcal{A} \subset \mathcal{R}(E)</math>. נזכור כי <math>\mathcal{R}(E)</math> מהווה מחלקה מונוטונית, ולכן נסיק כי <math>\mathcal{C}(\mathcal{A}) \subset \mathcal{R}(E)</math>.
עריכה אחת