|
ב[[אנליזה]] של [[מרחב מטרי|מרחבים מטריים]], ה'''קוטר העלסופי''' של [[קבוצה קומפקטית]] הוא מספר המודד את גודל הקבוצה באופן שמדמה פיזור של מטען חשמלי, בדומה ל[[קיבול אלקטרוסטטי]]. את המושג פיתח [[מיכאל פקטה]], שעסק רבות בנושא.
עבוראת ה[[קוטר|קוטר]] הרגיל של קבוצה קומפקטית מגדירים כמרחק הגדול ביותר האפשרי בין זוגות של אברים בקבוצה, דהיינו <math>\ d_2(A) = \max {d(x_1,x_2)}</math>, מגדיריםכאשר <math>\ d(\cdot,\cdot)</math> היא [[מטריקה|פונקצית המרחק]] בקבוצה. כהכללה של מושג זה, ניתן להגדיר קוטר מסדר n, המודד את המכפלה הגדולה ביותר של מרחקים בין זוגות נקודות, שאותה אפשר להשיג מפיזור n נקודות בקבוצה. הקוטר מסדר n מוגדר לפי הנוסחה <math>\ d_n(A) = (\max \prod_{1\leq i<j\leq n}{d(x_i,x_j)})^\frac{2}{n(n-1)}</math>, כאשר <math>\ d(\cdot,\cdot)</math> היא [[מטריקה|פונקצית המרחק]] בקבוצה, והה[[מקסימום]] נלקח מבין כל הבחירות האפשריות של נקודות <math>\ x_1,\dots,x_n \in A</math> (הנקודות שבהן המקסימום מתקבל נקראות '''נקודות פקטה'''). הגורם <math>\ \frac{2}{n(n-1)}</math> ב[[חזקה]] נבחר כך ש- <math>\ d_n(A)</math> הוא ה[[ממוצע הנדסי|ממוצע ההנדסי]] של ריבועי המרחקים.
עבור <math>\ n=2</math>, מתקבלת ההגדרה הרגילה לקוטר - המרחק הגדול ביותר בין שתי נקודות בקבוצה. בערכים גדולים יותר של n נמדדת האפשרות לפזר n נקודות, כך שמכפלת המרחקים בין כל שתיים מהן תהיה הגדולה ביותר האפשרית. נקודות כאלה נקראות '''נקודות פקטה'''.
סדרת הערכים <math>\ d_n(A)</math> היא [[סדרה יורדת]], כלומר <math>\ d_2(A)\geq d_3(A)\geq \dots</math>, וה[[גבול של סדרה|גבול]] <math>\ d(A)=\lim_{n\rightarrow n}d_n(A)</math> נקרא '''הקוטר העלסופי''' של <math>\ A</math>. תחת הגדרה זו, הקוטר העלסופי של קבוצה סופית הוא אפס, הקוטר העלסופי של [[מעגל]] שווה לרדיוס שלו, והקוטר העלסופי של קטע שווה לרבע אורכו של הקטע.
|
