הבדלים בין גרסאות בדף "גבול (מתמטיקה)"

הוסרו 3 בתים ,  לפני שנתיים
מ
תקלדה
(, הרחבה)
מ (תקלדה)
{{פירוש נוסף|נוכחי=גבול מתמטי| ראו=[[גבול (פירושונים)]]}}
{{סימון מתמטי}}
'''גבול''' הוא נדבך יסודי ב[[אנליזה מתמטית]] וב[[חשבון אינפיניטסימלי]]. גבול של סדרת [[מספר]]ים הוא מספר שאיברי הסדרה הולכים ומתקרבים אליו החל מאיבר מסוים בסדרה. לדוגמה, [[גבול של סדרה|גבולה]] של [[הסדרה ההרמונית]] <math>\ 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots</math> שווה ל[[אפס (מספר)|אפס]]. עם זאת, לא לכל סדרה קיים גבול. כאשר קיים גבול לסדרה, היא קרויה '''סדרה מתכנסת''', ותהליך התקרבות אבריה אל הגבול קרוי '''התכנסות'''. כאשר לא קיים גבול, הסדרה נקראת '''סדרה מתבדרת'''. פורמלית, נהוג לסמן גבול באופן הבא: :<math> \lim_{n \to c}f(n) = L </math>
 
אפשר לייחס גבול לעצמים אינסופיים שונים, כגון [[סדרה (מתמטיקה)|סדרה]] של [[מספר ממשי|מספרים ממשיים]] או [[פונקציה ממשית]], ובאופן כללי יותר גם לסדרה של איברים ב[[מרחב טופולוגי]] כללי.
== היסטוריה ==
 
את הטיפול בעצמים אינסופיים בדרך של גבולות, הגם שהוא זר לרוחה של הפילוסופיה הקלאסית, אפשר לאתר כבר בחישובים שערכו המתמטיקאים ה[[יוון ההלניסטית|הלניים]], ובראשם [[ארכימדס]]. שיטת המיצוי, שבה השתמשו כדי לחשב שטחים ונפחים של גופים מסובכים, וגם את ערכו של [[פאי]], מבוססת על קירוב הגוף המבוקש באמצעות גופים פשוטים יותר, באופן שהשגיאה הולכת וקטנה. בשפה מודרנית, אומרים שהשטח של הגוף המורכב הוא [[גבול של סדרה|גבולה]] של סדרת השטחים של הגופים הפשוטים.
 
רעיונות אלה שוכללו במידה ניכרת כאשר פיתחו [[לייבניץ]] ו[[אייזק ניוטון|ניוטון]] את החשבון האינפיניטסימלי, העוסק בתכונות של פונקציות ממשיות. האנליזה החדשה הייתה מבוססת על מושגים כגון "גודל הקטן לאינסוף" ו"גודל הגדל לאינסוף", ולמרות ההצלחה המיידית שלה בחישובים שלא ניתן היה לעשות קודם לכן, מנקודת המבט המודרנית היו בה פגמים לא מעטים.
 
== גבולות שונים ==
 
*'''[[גבול של סדרה]]'''. הטיפוס הבסיסי של גבול הוא גבול של סדרה של מספרים ממשיים, שאליו הולכים ומתקרבים אברי הסדרה.
*'''[[גבול (טופולוגיה)]]'''. הגדרות דומות מאוד לגבול של סדרה ממשית תקפות גם עבור גבולות של סדרות בכל [[מרחב מטרי]]. באופן כללי יותר, אפשר להגדיר גבול לסדרה גם ב[[מרחב טופולוגי]].