העתקה ליניארית – הבדלי גרסאות

גם התמונה של טרנספורמציה ליניארית סגורה לחיבור וכפל בסקלר, ולכן מהווה [[מרחב וקטורי]], החלקי ל-<math>\ W</math>.
 
תכונה חשובה המתקיימת עבור העתקות היא משפט הממד עבור העתקות במרחב מ[[ממד (אלגברה ליניארית)|ממד]] סופי:{{ש}}{{ש}}
 
:'''משפט הממד''': לכל מרחב <math>\ V</math> מממד סופי ולכל טרנספורמציה ליניארית <math>\ T:V \rightarrow W</math> מתקיים:
<div style="text-align: center;">
<math>\ \dim(\operatorname{Im}(T))+\dim(\ker(T))=\dim(V)</math>.
</div>
 
נשים לב כי בנוסחה אין תלות כלל בממד של הטווח <math>\ W</math>, אלא רק בממד של התחום <math>\ V</math>, אך מן המשפט נובע שיש קשר בין ממד הגרעין וממד התמונה, לממד התחום וממד הטווח:
{{ש}} <math>\ \dim(\operatorname{Im}(T))\le \dim(W)</math> ולכן <math>\dim(\ker(T))\ge \dim(V)-\dim(W)</math>
 
{{ש}}
{{טבלה מוסתרת|כותרת=הוכחה|לא מוסתר=כן|תוכן=
:'''הוכחה''': יהיו <math> \{ \ v_1,..., \ v_n \} </math> ה[[בסיס_(אלגברה)|בסיס]] של <math> \ \ker(T) </math> ויהיו <math> \{ \ u_1,..., \ u_m \} </math> וקטורים כך ש- <math> \{\ T(u_1),..., \ T(u_m) \} </math> מהווים בסיס ל <math>\ \operatorname{Im}(T)</math>
 
:'''הוכחה''': יהיו <math> \{ \ v_1,..., \ v_n \} </math> ה[[בסיס_(אלגברה)|בסיס]] של <math> \ \ker(T) </math> ויהיו <math> \{ \ u_1,..., \ u_m \} </math> וקטורים כך ש- <math> \{\ T(u_1),..., \ T(u_m) \} </math> מהווים בסיס ל <math>\ \operatorname{Im}(T)</math>
 
צ"ל: <math> \{\ v_1,..., \ v_n, \ u_1,..., \ u_m \}</math> מהווה בסיס ל-''V''.
לכן הקבוצה <math> \{\ v_1,..., \ v_n, \ u_1,..., \ u_m \}</math> מהווה בסיס עבור ''V'' ולכן מתקיים
<math>\ \dim(\operatorname{Im}(T))+\dim(\ker(T))= \ n + \ m =\dim(V)</math>.
'''מ.ש.ל.'''
}}
 
== מטריצה של העתקה ליניארית ==