העתקה ליניארית – הבדלי גרסאות

* אם <math> \ A</math> היא [[מטריצה]] מסדר <math> \ m \times n </math>, אז <math> \ A</math> מגדירה העתקה ליניארית <math>T_A : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</math> מ-<math> \mathbb R ^n </math> ל-<math> \mathbb R ^m </math> כאשר היא פועלת על וקטורי עמודה ב <math> \mathbb R ^n </math> על ידי [[כפל מטריצות]] מימין: <math>T_A(\vec{x}) = A\vec{x}</math> זוהי דוגמה חשובה ושימושית ביותר, כיוון שניתן לייצג כל העתקה ליניארית בין מרחבים מ[[ממד (אלגברה ליניארית)|ממד]] סופי בדרך זו.

* טרנספורמציית האפס <math>\boldsymbol{0}:V \to W</math> (פונקציה המתאימה לכל איבר בתחום את [[איבר האפס|וקטור האפס]] בטווח) ו[[פונקציית הזהות|טרנספורמציית הזהות]] <math>\operatorname{Id}: V \to V</math> (פונקציה המתאימה לכל איבר בתחום את עצמו) הן טרנספורמציות ליניאריות. בפרט, אם <math>V=\mathbb{R}^n, W=\mathbb{R}^m</math> אז את טרנספורמציית האפס ניתן לייצג כ-<math>T_A</math> כאשר <math>A</math> היא מטריצת האפס (מטריצה בגודל המתאים שכולה אפסים), ואת טרנספורמציית הזהות <math>\operatorname{Id}:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n</math> ניתן לייצג כ-<math>T_A</math> על ידי <math>A=I_n</math> כאשר <math>I_n</math> היא [[מטריצת היחידה]] מסדר n (כלומר: בגודל <math>n \times n</math>).

* טרנספורמציות סיבוב ושיקוף הן טרנספורמציות ליניאריות. לדוגמה, ב-<math> \mathbb R ^2</math>, הטרנספורמציה המשקפת כל וקטור יחסית לציר ה <math>\,x</math> היא טרנספורמצייה ליניארית.

* [[נגזרת|גזירה]] היא העתקה ליניארית ממרחב הפונקציות הגזירות למרחב הפונקציות (מרחבים מ[[ממד (אלגברה ליניארית)|ממד]] אינסופי).

* פונקציה <math>f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> היא העתקה ליניארית אם ורק אם היא מהצורה <math>f(x)=\alpha x</math> באשר <math>\alpha \in \mathbb{R}</math>. נשים לב שפונקציה ליניארית (כלומר: כזאת המתארת [[קו ישר]] ב[[מישור]]) <math>g(x) = \alpha x + \beta</math> היא העתקה ליניארית רק אם <math>\beta = 0</math>. קל לראות ש-<math>g</math> לא מעבירה 0 ל-0 (תנאי הכרחי להעתקה ליניארית) אך ניתן להוכיח זאת גם באופן יותר מפורש: נניח ש-<math>\beta \ne 0</math> ונראה ש-g לא מקיימת אדיטיביות (ליניאריות): <math display="block">2\alpha+\beta=g(2) = g(1+1) \ne g(1)+g(1) = (\alpha + \beta) + (\alpha + \beta) = 2\alpha + 2\beta</math> פונקציה g כזאת נקראת [[העתקה אפינית]].

 

== סוגי העתקות ליניאריות ==