העתקה ליניארית – הבדלי גרסאות

נוספו 120 בתים ,  לפני 3 שנים
 
==גרעין ותמונה של העתקה ליניארית==
תהי טרנספורמציה ליניארית <math>\ T: V \rightarrowto W</math>.
 
הגרעיןה[[גרעין (מתמטיקה)|גרעין]] של <math>\ T</math>, המסומן <math>\ \ker(T)</math> (מהמילה Kernel - גרעין), הוא קבוצה המכילה את כל הווקטורים ב<math>\ V</math> שהטרנספורמציה מעבירה לווקטור ה-<math>\ 0</math> של <math>\ W</math>. כלומר:
<math display="inline"> \ \ker (T) = \{v \in V | T(v) = 0 \} </math>
משימוש בתכונות הטרנספורמציה הליניארית קל לראות כי הגרעין הוא [[מרחב וקטורי]] חלקי (תת-מרחב) ל-<math>\ V</math> - משמע, הוא סגור לחיבור וכפל בסקלר.
 
התמונהה[[תמונה (מתמטיקה)|תמונה]] של <math>\ T</math>, המסומנת <math>\ \operatorname{Im}(T)</math> (מהמילה Image - תמונה)
היא קבוצה המכילה את כל איברי <math>\ W</math> שקיים להם מקור ב-<math>\ V</math>, כלומר:
<math display="block"> \ \operatorname{Im} (T) = \{w \in W |\mid \exist v \in V : w = T(v), \} = \{ T(v) \mid v \in V \} = T(V) </math>
גם התמונה של טרנספורמציה ליניארית סגורה לחיבור וכפל בסקלר, ולכן מהווה [[מרחב וקטורי]], החלקי ל-<math>\ W</math>.
 
=== משפט הממד ===
 
תכונה חשובה המתקיימת עבור העתקות היא משפט הממד עבור העתקות במרחב מ[[ממד (אלגברה ליניארית)|ממד]] סופי:{{ש}}{{ש}}