מישור (גאומטריה) – הבדלי גרסאות

נוספו 344 בתים ,  לפני שנתיים
המישור שבו עוסקת הגאומטריה נקרא [[מרחב אוקלידי|המישור האוקלידי]] והוא מקרה פרטי של [[מרחב מכפלה פנימית]] [[מספר ממשי|ממשי]], ונהוג לסמנו <math>\mathbb{R}^2 = \left\{ (x,y) \mid x,y \in \mathbb{R} \right\}</math>. המכפלה הפנימית היא [[מכפלה סקלרית|המכפלה הסקלרית]]: <math>\langle \mathbf{x}_1 , \mathbf{x}_2 \rangle = \langle (x_1,y_1),(x_2,y_2) \rangle := (x_1,y_1) \bullet (x_2,y_2) = x_1 x_2 + y_1 y_2</math>. המישור האוקלידי הוא גם [[מרחב טופולוגי]] ובפרט [[מרחב מטרי]] עם ה[[מטריקה]] המושרית מהמכפלה הפנימית <math>d(\mathbf{u},\mathbf{v}) = \sqrt{ \langle \mathbf{u}-\mathbf{v}, \mathbf{u}-\mathbf{v} \rangle } = </math>.
 
== הצגות של מישור במרחב התלת-ממדי ==
 
מקרה שימושי של טיפול במישורים הוא כאשר המישור נמצא ב[[מרחב אוקלידי|מרחב האוקלידי]] [[מרחב תלת-ממדי|התלת-ממדי]] <math>\mathbb{R}^3 = \{ (x,y,z) \mid x,y,z \in \mathbb{R} \}</math> המצויד ב[[מכפלה סקלרית]] ו[[מכפלה וקטורית]].
 
=== הצגה אלגברית ===
במערכת צירים תלת ממדית <math>\ z</math>x-<math>\ y</math>-<math>\ x</math>z, אפשר להגדיר מישור כמקום הגאומטרי של כל פתרונות המשוואה
: <math>\ ax+by+cz+d=0</math>,
כאשר <math>\ a</math>, <math>\ b</math>, <math>\ c</math> ו-<math>\ d</math> הם [[מספר ממשי|מספרים ממשיים]] ולא כל המקדמים שווים לאפס. אפשר לכתוב גם <math>\ \mathbf{n}\cdot\mathbf{x} +d = 0</math>, כאשר <math>\ \mathbf{n} </math> הוא הווקטור <math>\mathbf{n} = (a,b,c)</math> (שלמעשה מהווה ה[[נורמל]] של המישור) ו-<math>\ \mathbf{x} </math> הוא הווקטור <math>\ (x,y,z)</math>. אם <math>\mathbf{x}_0 = (x_0,y_0,z_0)</math> היא נקודה על המישור ניתן להציגו על ידי המשוואה <math>\mathbf{n} \cdot (\mathbf{x} - \mathbf{x}_0)=0</math> או בכתיב מפורש לפי [[קואורדינטות]]: