משפט ההצגה של ריס – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ שוחזר מעריכות של 212.179.12.226 (שיחה) לעריכה האחרונה של דגש חזק |
הנדב הנכון (שיחה | תרומות) מאין תקציר עריכה |
||
שורה 84:
:<math>\Phi_{g}\left(f\right)=\int_{X}fg \, d\mu</math> לכל <math>f\in L^{p}\left(\mu\right)</math>.
מ[[אי-שוויון הלדר]] נובע שהאינטגרנד <math>fg</math> שייך ל-<math>L^{1}\left(\mu\right)</math> ולכן העתקה זו היא מוגדרת היטב. יתרה מזאת, קל לבדוק שהיא מגדירה פונקציונל ליניארי רציף <math>\Phi_{g}:L^{p}\left(\mu\right)\to\mathbb{C}</math>. אם מרחב המידה <math>\left(X,\mathcal{M},\mu\right)</math>
'''משפט''': יהי <math>1\le p<\infty</math> ונניח ש-<math>\left(X,\mathcal{M},\mu\right)</math> הוא מרחב מידה [[מידה סיגמא-סופית|סיגמא-סופי]]. אז ההעתקה
שורה 93:
* <math>\Psi</math> היא חד חד ערכית ועל.
* <math>\Psi</math> היא ליניארית, כלומר <math>\Psi\left(g_{1}+cg_{2}\right)=\Psi\left(g_{1}\right)+c\Psi\left(g_{2}\right)</math> לכל <math>g_{1},g_{2}\in L^{q}\left(\mu\right)</math> ולכל סקלר <math>c \in \mathbb{C}</math>.
* <math>\Psi</math> היא איזומטריה, כלומר <math>\left\Vert \Phi_{g}\right\Vert =\left\Vert g\right\Vert _{q}</math>.
שורה 101 ⟵ 99:
'''הערות''':
* עבור <math>1<p<\infty</math> ההנחה שהמרחב <math>\left(X,\mathcal{M},\mu\right)</math> הוא סיגמא-סופי היא מיותרת.
* עבור <math>p = \infty</math> המשפט אינו נכון. במקרה זה ההעתקה לעיל מהווה [[שיכון (מתמטיקה)|שיכון]] איזומטרי בלבד, כלומר <math>L^{1}\left(\mu\right)\hookrightarrow\left(L^{\infty}\left(\mu\right)\right)^{*}</math>, ובדרך כלל המרחב <math>\left(L^{\infty}\left(\mu\right)\right)^{*}</math> הוא הרבה יותר גדול.
| |||