חבורה אבלית נוצרת סופית – הבדלי גרסאות

הוכחה פשוטה יחסית למשפט המיון נובעת מתוצאה כללית יותר בתורת ה[[מודול (מבנה אלגברי)|מודולים]], ומתבססת על כך שניתן לראות כל חבורה אבלית גם כמודול מעל ה[[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] <math>\ \mathbb{Z}</math>.

 

*כל חבורה אבלית סופית, נוצרת סופית (למשל, בידי קבוצת כל האיברים שלה). מכיוון שהמרכיב <math>\ \mathbb{Z}^r</math> בפירוק לעיל הוא אינסופי כאשר <math>\ r>0</math>, נובע שכל חבורה אבלית סופית איזומורפית לחבורה מהצורה <math>\ \mathbb{Z}_{m_1}\oplus\dots\oplus\mathbb{Z}_{m_k}</math>. דוגמאות ספציפיות:

**קיימת חבורה אבלית יחידה בת 6 איברים. בהצגה באמצעות מחלקים אלמנטריים צורתה היא <math>\ \mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_3</math> ואילו בהצגה באמצעות גורמים אינוריאנטיים צורתה היא <math>\ \mathbb{Z}_6</math>. לפי משפט השאריות הסיני שתי ההצגות איזומורפיות.