משתמש:Ariel1024/צבר מיקרוקנוני – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ הסבת תג ref לתבנית:הערה (תג)
 
שורה 3:
הביטוי המתמטי המדויק להרכב סטטיסטי תלוי בסוג המכניקה הנבדקת – [[מכניקה קוונטית|קוונטית]] או [[מכניקה קלאסית|קלאסית]] – מאחר שהרעיון של "מיקרו־מצב" שונה במידה ניכרת בשני מקרים אלה. במכניקת הקוואנטים, [[לכסון מטריצה|לכסון]] מספק קבוצה בדידה של מיקרומצבים עם אנרגיות ספציפיות. ואילו במקרה המכני הקלאסי יש לבצע אינטגרל על [[מרחב המצבים]] הקנוני ("מרחב הפזה", "phase space"), ואת גודל המיקרומצבים (העידון החלוקה) במרחב המצבים ניתן לבחור באופן שרירותי במקצת.
 
לשם בניית הצבר המיקרוקנוני, בכל אחת משתי המכניקות, יש להגדיר תחילה את טווח האנרגיה. בביטוי מטה הפונקציה <math>f(\tfrac{H - E}{\omega})</math> (פונקציה של ''H'', בעלת קיצון ב־''E''עם רוחב ''ω'')תשמש לייצוג טווח האנרגיה בו יכללו המצבים. An דוגמה לפונקציה מעין זו תהיה <ref name{{הערה|שם="gibbs"/>}}
:<math>f(x) = \begin{cases} 1, & \mathrm{if}~|x| < \tfrac 12, \\ 0, & \mathrm{otherwise.} \end{cases}</math>
או פונקציה חלקה יותר,
שורה 66:
{{details|topic=the representation of ensembles in classical mechanics|Statistical ensemble (mathematical physics)}}
 
במכניקה קלסית, צבר מיוצג על ידי [[פונקציית צפיפות|פונקצית צפיפות־הסתברות משותפת]] <math>\rho(p_1,...p_n,q_1,...q_n)</math> המוגדרת על [[מרחב הפזה]] של המערכת.<ref name{{הערה|שם="gibbs"/>}} במרחב הפזה יש ''n'' [[קואורדינטות מוכללות]] המסומנות ב־<math>q_1,...q_n</math>, ו־''n'' משתני ה[[תנע]] [[משתנים קנוניים|הצמודים־קנונית]] שלהן, <math>p_1,...p_n</math>.
פונקצית צפיפות הסתברות של הצבר המקרוקנוני היא:
:<math>\rho = \frac{1}{h^n C} \frac{1}{W} f(\tfrac{H-E}{\omega}),</math>
כאשר
* <math>H</math> היא האנרגיה הכוללת ([[פונקציית ההמילטוניאן|ההמילטוניאנית]]) של המערכת, פונקציה של המצב (הפזה) <math>(p_1,...p_n,q_1,...q_n)</math>
* <math>h</math> הוא קבוע שרירותי בעל יחידות של '''זמן×אנרגיה''', setting the extent of one microstate and providing correct dimensions to <math>\rho</math>.<ref group{{הערה|קבוצה=note>|(Historical note) Gibbs' original ensemble effectively set <math>h=1 [energy unit]×[time unit]</math>, leading to unit-dependence in the values of some thermodynamic quantities like entropy and chemical potential. Since the advent of quantum mechanics, <math>h</math> is often taken to be equal to [[Planck's constant]] in order to obtain a semiclassical correspondence with quantum mechanics.</ref>}}
* <math>c</math> is an overcounting correction factor, often used for particle systems where identical particles are able to change place with each other.<ref group{{הערה|קבוצה=note>|In a system of <math>N</math> identical particles, {{math|''C'' {{=}} ''N''!}} ([[factorial]] of <math>N</math>). This factor corrects the overcounting in phase space due to identical physical states being found in multiple locations. See the [[Statistical ensemble (mathematical physics)#Correcting overcounting in phase space|statistical ensemble]] article for more information on this overcounting.</ref>}}
 
Again, the value of <math>W</math> is determined by demanding that <math>\rho</math> is a normalized probability density function: