שדה סדור – הבדלי גרסאות

יהי F שדה סדור. שני אברים חיוביים x,y הם '''ברי-השוואה''' אם קיים n כך ש-<math>\ \frac{1}{n}<x/y<n</math>. קבוצת מחלקות השקילות מהווה חבורה סדורה ביחס לכפל, ונקראת '''חבורת המחלקות הארכימדיות''' של השדה, וגם ה'''טיפוס''' שלו. השדה הוא [[שדה סדור ארכימדי|ארכימדי]] אם ורק אם חבורתהוא מחלקות הארכימדיות שלומטיפוס טריוויאליתטריוויאלי. [[הרחבת שדות]] E/F היא '''הרחבה ארכימדית''' אם כל איבר של E בר-השוואה לאיבר של F. השדה '''סגור ארכימדית''' אם אין לו הרחבות ארכימדיות.

תהי <math>\ \Gamma</math> [[חבורה סדורה|חבורה אבלית סדורה לינארית]]. אם F שדה כלשהו, מסמנים ב-<math>\ F(\!(\Gamma)\!)</math> את הסכומים הפורמליים <math>\ \sum_{\gamma \in \Gamma} \alpha_\gamma \gamma</math> שיש להם [[תומך (מתמטיקה)|תומך]] [[קבוצה סדורה היטב|סדור היטב]], עם החיבור והכפל הטבעיים. זהו שדה, הקרוי [[שדה האן מוכלל]] (על-שם Hans Hahn). אם F סדור, יש סדר טבעי ההופך גם את <math>\ F(\!(\Gamma)\!)</math> לשדה סדור. '''משפט השלמות של האן''' קובע שלכל חבורה סדורה <math>\ \Gamma</math>, השדה הסדור היחיד שהואמטיפוס סגור ארכימדית ובעל חבורת מחלקות ארכימדיות איזומורפית ל-<math>\ \Gamma</math> שהוא סגור ארכימדית הוא השדה <math>\ {\mathbb{R}}(\!(\Gamma)\!)</math>. זוהי הכללה של העובדה ש[[שדה המספרים הממשיים]] הוא השדה הסדור הארכימדי היחיד שהוא סגור ארכימדית. '''משפט השיכון של האן''' קובע שכל שדה סדור Eמטיפוס <math>\ \Gamma</math> אפשר לשכן כתת-שדה של <math>\ {\mathbb{R}}(\!(\Gamma)\!)</math> כך שההרחבה ארכימדית, כאשר <math>\ \Gamma</math> חבורת המחלקות הארכימדיות של E.