כפל – הבדלי גרסאות

הוסרו 2 בתים ,  לפני 3 שנים
אין תקציר עריכה
מ (הסרת רווחים מיותרים לפני שם הקטגוריה (תג) (דיון))
אין תקציר עריכה
כפל של [[מספר טבעי|מספרים טבעיים]] הוא למעשה פעולת [[חיבור]] חוזרת: 4 כפול 3 הוא הסכום <math>3 + 3 + 3 + 3 = 12\!\,</math>, ובאופן כללי "a כפול b" הוא a פעמים b, כלומר b ועוד b ועוד b וכן הלאה, a פעמים או הסכום של a קבוצות שגודל כל אחת מהן הוא b. ב[[מערכת פאנו]] המייצגת את המספרים הטבעיים, הכפל מוגדר ב[[אינדוקציה מתמטית|אינדוקציה]] בעזרת פעולת החיבור: <math>\ a\cdot 0 = 0</math>, ו- <math>\ a \cdot (b+1) = a\cdot b + a</math>.
 
את פעולת הכפל של המספרים הטבעיים אפשר להכליל ל[[מערכת מספרים|מערכות מספרים]] גדולות יותר: ב[[שדה המספרים הרציונליים|מספרים הרציונליים]] הכפל של השברים <math>\ \frac{a}{b}</math> ו- <math>\ \frac{c}{d}</math> הוא השבר <math>\ \frac{a\cdot c}{b \cdot d}</math>. ב[[שדה המספרים המרוכבים|מספרים המרוכבים]] הכפל נובע מן ה[[דיסטריבוטיביות]] ביחס לחיבור ומההנחה ש-<math>\ i\cdot i = -1</math> כי: <math>\ (a+bi)\cdot (c+di) = (a\cdot c - b \cdot d) + (a \cdot d + b \cdot c) i</math>.
 
ה[[שטח]] של [[מלבן]] מוגדר כמכפלת האורך שלו ברוחב. באותו אופן אפשר להגדיר גם [[נפח]] של תיבה (מכפלת האורך, הרוחב והגובה), ואף נפחים בממימד גבוה יותר.
[[קובץ:Multiplication Sign.svg|ממוזער|180px|שמאל|סימנו של הכפל]]
 
את הכפל מסמנים בסימן "&times;" או בסימן "&middot;" בין הגורמים המוכפלים. לדוגמה, <math>2\times 3 = 6</math> (במילים, "שלוש פעמים 2 שווה ל-6", או "שתיים כפול שלוש שווה ל-6"). הכפל קודם לחיבור ולחיסור בסדר הפעולות: <math>\ a\times b+c = (a\times b)+c</math>. הוא [[פעולה אסוציאטיבית|אסוציאטיבי]], ולכן אין צורך להנחות באמצעות סוגריים בביטוי שיש בו כמה פעולות כפל: <math>\,1\times 2\times 3\times 4\times 5 = 120</math>. ב[[אלגברה]] משמיטים לפעמים את סימן הכפל כליל, ורישום [[משתנה|משתנים]] בסמיכות מייצג כפל שלהם (למשל XY שווה ל-X פעמים Y, ו-5X שווה לחמש פעמים X).
 
ב[[שפת תכנות|שפות תכנות]] רבות מסומנת פעולת הכפל ב[[כוכבית]] (כמו ב 2*5) מכיוון שהיא מופיעה בכל סוגי [[לוח מקשים|לוחות המקשים]]. החלה בכך שפת התכנות [[Fortran]].
==הסימון לכפל גורמים רבים==
 
כפל סדרתי של [[איבר (מתמטיקה)|איברים]] מסומן בסימן הַמַּכְפֵּלָה, שהוא האות Π (פאי) גדולה ב[[אלפבית]] ה[[יוונית|יווני]]: <math> \prod_{i=m}^{n} x_{i} = x_{m} \cdot x_{m+1} \cdot x_{m+2} \cdot \,\,\cdots\,\, \cdot x_{n-1} \cdot x_{n}. </math>. הציון התחתי (במקרה זה, האות ''i'') מציין פרמטר, המופיע עם הגבול התחתי (''m''), ואילו הכתב העילי מציין את הגבול העליון (''n''). ערך הביטוי הוא המכפלה של הגורמים <math>\ x_i</math> עבור ערכי הפרמטר מן הגבול התחתון לעליון. לדוגמה, <math> \prod_{i=2}^{6} \left(1 + {1\over i}\right) = \left(1 + {1\over 2}\right) \cdot \left(1 + {1\over 3}\right) \cdot \left(1 + {1\over 4}\right) \cdot \left(1 + {1\over 5}\right) \cdot \left(1 + {1\over 6}\right) = {7\over 2}. </math>. במקרה ש-''m'' = ''n'', התוצאה של המכפלה היא ''x''<sub>''m''</sub>. אם ''m'' > ''n'', זוהי [[מכפלה ריקה]], ומוסכם שערכה 1.
 
בעוד שמכפלות סופיות אפשר להגדיר באינדוקציה, המכפלה האינסופית (שבה הגבול העליון, למשל, הוא אינסוף), אינה מוגדרת בכל מקרה. כאשר מכפילים מספרים ממשיים, המכפלה האינסופית מוגדרת כ[[גבול של סדרה|גבול]] של סדרת המכפלות הסופיות, כאשר ''n'' [[שואף לאינסוף]]. כלומר, <math> \prod_{i=m}^{\infty} x_{i} = \lim_{n\to\infty} \prod_{i=m}^{n} x_{i}. </math>.
* לכל מספר שונה מ-0 יש [[מספר הופכי]]: לכל <math>x\ne 0</math> קיים <math>y</math> כך ש-<math>xy=1</math>.
* ביחס ל-0 מתקיים: <math>\ x \cdot 0 = 0 \cdot x = 0</math>.
* מתקיים [[חוק הפילוג]]: <math>x\cdot(y + z) = x\cdot y + x\cdot z </math>.
*כפל ב-[[-1|{{משמאל לימין|-1}}]] נותן את ה[[מספר נגדי|מספר הנגדי]]: <math>\, (-1)\cdot x = -x</math>.
* מכפלה של מספרים חיוביים היא מספר חיובי; הכפל במספר חיובי שומר על יחס הסדר (היחס >), בעוד שכפל במספר שלילי הופכת את הסדר.
 
==לוח הכפל==
[[Fileקובץ:צעצוע מכני משנת 1918 לחישובי לוח הכפל The Educated Monkey.jpg|250px|ממוזער|שמאל|The Educated Monkey{{ש}}צעצוע מכני ממתכת משנת 1918 לחישובי לוח הכפל.{{ש}}<small>לדוגמה: אצבעות הרגליים מצביעות על 4 כפול 9, בידיים רואים תוצאה 36.</small>]]
הגדרה נאיבית של פעולת הכפל נעשית באמצעות לוח הכפל, שהוא טבלה המציגה את תוצאותיה של פעולת הכפל, הקרויה '''מכפלה''', על כל שני מספרים אפשריים שכל אחד מהם בן [[ספרה]] אחת.
 
{| border=1 cellpadding=4 cellspacing=0
|colspan="11" align=center bgcolor="#ccccff"| '''לוח הכפל'''
|-
|- bgcolor="#F0F0F0"