משוואת הגלים – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ הוספת תבנית:MathWorld בקישורים חיצוניים (תג) (דיון) |
אילן מינקין (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
שורה 12:
משוואה זו אינה משוואת הגלים היחידה, אלא רק הנפוצה והפשוטה ביותר. משוואה זו מתארת גלים עם [[נפיצה|יחס נפיצה]] ליניארי, וללא איבודי אנרגיה. דוגמאות נפוצות לגלים כאלה הם [[גל אלקטרומגנטי|גלים אלקטרומגנטיים]] ב[[ריק]] או תנודות של מיתר מתוח. לגלים אחרים, כגון [[גל קול|גלי קול]], גלי מים, או תנודות ב[[סריגי בראבה|סריג]] (כמו [[פונונים]]) יש משוואות אחרות.
== פיתוח ==
משוואת הגלים באה לתאר הפרעה שמתקדמת בזמן ובמרחב במהירות קבועה, ושומרת על צורתה. נניח כי הפונקציה <math>\psi (x,t)</math> מתארת מידת ההפרעה משיווי משקל בנקודה <math>x</math> ברגע <math>t</math>. אם נניח כי גודל מהירות הגל קבוע, ונגדיר אותה להיות <math>v</math>, אזי לאחר זמן <math>t</math>, הפונקציה המתארת את הגל מוזזת ב<math>vt</math> יחידות מהנקודה הקודמת. כעת, אם נניח כי הגל אכן שומר על צורתו (כלומר, מידת הסטייה משיווי משקל נשארת קבועה) נוכל לשים לב לקיום הקשר <math>\psi (x,t) = \psi (x\pm vt)</math>. קשר זה נובע [[הזזת הצירים|ממשפטי הזזת הצירים]].
נגזור את <math>\psi (x,t)</math> על פי קואורדינטת המיקום <math>x</math>:
<math>\frac {\partial \psi}{ \partial x}= \frac {\partial \psi}{ \partial (x\pm vt)} \frac { \partial (x\pm vt)}{ \partial x}=\frac{d \psi}{d (x\pm vt)}{}</math>
על ידי גזירה פעם נוספת של אותו הביטוי נקבל:
<math>\frac {\partial^2 \psi}{ \partial x^2}= \frac{d^2 \psi}{d (x\pm vt)^2}</math>
כעת נגזור את <math>\psi (x,t)</math> על פי הזמן:
<math>\frac {\partial \psi}{ \partial t}= \frac {\partial \psi}{ \partial (x\pm vt)} \frac { \partial (x\pm vt)}{ \partial t}=\pm v \frac{d \psi}{d (x \pm vt)}</math>
ופעם נוספת לפי הזמן:
<math>\frac {\partial^2 \psi}{ \partial t^2}= v^2 \frac{d^2 \psi}{d (x\pm vt)^2}</math>
ניתן לראות בברור כי מתקיים <math>\frac {\partial^2 \psi}{ \partial x^2}= \frac{1}{v^2}\frac {\partial^2 \psi}{ \partial t^2}</math>.
<br />
== משוואת הגלים החד-ממדית ==
עבור גל חד ממדי המשוואה היא:
| |||