|
ביתר פירוט, המספרים <math>\ 1, 1+1, 1+1+1, 1+1+1+1, ...</math> הם איברים של השדה, ויש שתי אפשרויות: או שכולם שונים זה מזה, ואז אומרים שהשדה בעל '''מאפיין אפס''', או שלא, ואז המאפיין הוא המספר הקטן ביותר של 1-ים שיש לחבר כדי לקבל 0. במקרה זה המאפיין הוא [[מספר ראשוני]] (משום שאין [[מחלק אפס|מחלקי אפס]] בשדה).
==דוגמאות==
== מציאת המאפיין של שדה ==
[[שדה המספרים הרציונליים]] וכל ה[[הרחבת שדות|הרחבות]] שלו, כמו [[שדה המספרים הממשיים|המספרים הממשיים]] ו[[שדה המספרים המרוכבים|המספרים המרוכבים]] הם בעלי מאפיין אפס. [[שדה סופי]] אינו יכול להיות בעל מאפיין אפס.
בשדה ממאפיין <math>\ 0<p</math> מתקיים השוויון <math>\ (a+b)^p = a^p + b^p</math>, כלומר שהעלאה בחזקת p היא [[איזומורפיזם#איזומורפיזם בין חוגים|איזומורפיזם]] מהשדה אל עצמו. [[הומומורפיזם]] זה הוא תמיד [[חד-חד-ערכי]], ומגדיר [[שיכון (מתמטיקה)|שיכון]] של השדה לתוך עצמו (שהוא [[אפימורפיזם|על]] אם השדה סופי, ראו [[הומומורפיזם פרובניוס]]).
=== מאפיין של שדה אינסופי ===
השדות הבאים הנם בעלי מאפיין <math>0</math>, משום שהם מכילים '''אינסוף איברים, השונים זה מזה'''{{הערה|[http://mathworld.wolfram.com/FieldCharacteristic.html דוגמאות לשדות חשובים, בעלי מאפיין 0.]}}:
* <math>\mathbb{Q}</math>{{כ}} [[שדה המספרים הרציונליים]] וכל ה[[הרחבת שדות|הרחבות]] שלו.
* <math>\mathbb{R}</math>{{כ}} [[שדה המספרים הממשיים]], <math>\mathbb{C}</math>{{כ}} [[שדה המספרים המרוכבים]].
* <math>\mathbb{Q}_{p}</math>{{כ}} ([[מספר p-אדי]]{{הערה|{{אנ|p-adic number|p-adic number}}{{ש}}[http://mathworld.wolfram.com/p-adicNumber.html {{כ}} מספר p-אדי, וולפרם מתמטיקה.]}}).
=== מציאת מאפיין של שדה סופי ===
ככלל, [[שדה סופי]] אינו יכול להיות בעל מאפיין אפס{{הערה|[https://proofwiki.org/wiki/Finite_Field_has_Non-Zero_Characteristic הוכחת המשפט: שדה סופי הוא בעל מאפיין שאינו אפס.]}}.
==== הסבר כיצד למצוא את המאפיין של שדה סופי ====
נתונה לנו קבוצה סופית כלשהי, בעלת מספר איברים <math>n</math> , אשר מהווה שדה סופי <math>F</math>:
<math>F_{n}=\left \{ 0,1,\cdots \left (n-1 \right ) \right \}</math>
שדה זה הנו סופי מפני ש- <math>n</math> סופי.
שני המספרים הראשונים, השייכים לשדה, יהיו: <math>0\in F</math> ו- <math>1\in F</math> .
נתחיל כעת לספור את מספר האיברים בשדה, '''בהנחה שכולם שונים זה מזה''':{{ש}}
נתחיל מהאיבר: <math>0\in F</math>, ונוסיף לו את האיבר: <math>1\in F</math> '''באופן החוזר על עצמו (רפטטיבי)''':
* נקבל את סדרת האיברים (מספרים) הבאה:
<math>\underbrace{\left (\underbrace{0}_\text{1st element}\text{, }\underbrace{1}_\text{2nd element}\text{, }\underbrace{1+1}_\text{3rd element}\text{, }\underbrace{1+1+1}_\text{4th element}\text{ , }\underbrace{1+1+1+1}_\text{5th element}\text{ , }\cdots\text{,} \underbrace{n-1}_\text{n element} \right )}_\text{All the elements of the string are distinct from each other}</math>
* שני האיברים הראשונים בשדה שונים זה מזה, בגלל קיום האקסיומה: <math>0\neq 1</math> עבור שדות.
* מכיוון שהשדה הנו סופי, השדה חייב להיות גם '''מחזורי (רפטטיבי)''', עבור שדות המקיימים: <math>n> 1</math>.{{ש}}{{ש}}על שדות אלו נמנים:{{ש}}
** השדה בעל מספר האיברים המינימלי: <math>\left \{ 0,1 \right \}</math>.
** שדות בעל מספר איברים רב יותר מהשדה הקודם (המינימלי).
כאשר נגיע לאיבר האחרון, האיבר הבא אחריו יהיה בפשטות: <math>0\in F</math> , וספירת מאפיין השדה תחזור על עצמה (מחדש).
* דוגמה:
נתבונן פעם נוספת בשדה:
<math>F_{n}=\left \{ 0,1,\cdots \left (n-1 \right ) \right \}</math>
<math>n</math> האיברים הראשונים בשדה שונים זה מזה.
אם נתקדם לאיבר הבא - איבר זה יהיה <math>0\in F</math> , והוא '''שונה מהאיבר האחרון של הסדרה''', מאחר שכל אברי הסדרה '''שונים זה מזה'''.
אם נכתוב זאת באופן מתמטי, מאפיין השדה יהיה:
<math>Char\text{ } F=\left ( n-1 \right )+1=n=0</math>
== דוגמה מעשית ==
'''שאלה''':
מהו מאפיין השדה: <math>F_{2}=\left \{ 0,1 \right \}</math> ?
'''תשובה''':
מאופן כתיבת השדה, <math>F_{2}</math>, אנו יודעים שמספר האיברים בו הוא <math>2</math>. על כן, מאפיין השדה יהיה <math>2</math>.
נבדוק זאת באמצעות ספירה ידנית:
* בתחילה (לפני התחלת הספירה), מאפיין השדה הוא אפס.
* ספירת מספר אברי השדה:
האם <math>0\neq 0</math> ? {{כ}} '''לא'''. על כן, '''לא נוסיף''' <math>1</math> למאפיין השדה, ועדיין מתקיים: <math>Char\text{ } F=0</math> .
נתקדם לאיבר הבא, <math>1</math> . האם <math>1\neq 0</math> ? '''כן'''. על כן, כעת: <math>Char\text{ } F=1</math> .
נתקדם לאיבר הבא, '''שהוא שוב''' <math>0</math> ('''השדה רפטטיבי, חוזר על עצמו'''). האם <math>0\neq 1</math> ? '''כן''', על כן: <math>Char\text{ } F=2</math> .
השלמנו מחזור שלם של השדה, וקיבלנו שעבור האיבר הראשון בו: <math>0\in F</math> , מאפיין השדה הנו: <math>Char\text{ } F=2</math> .{{ש}}
על כן, נוכל לכתוב: <math>2=0</math>, משום ש:
<math>\underbrace{2}_\text{Number of distinct elements}=\underbrace{0}_\text{Until we get back to the first element again}</math>
== תכונות ==
בשדה ממאפיין <math>\ 0<p</math> מתקיים השוויון <math>\ (a+b)^p = a^p + b^p</math>, כלומר שהעלאה בחזקת <math>p</math> היא [[איזומורפיזם#איזומורפיזם בין חוגים|איזומורפיזם]] מהשדה אל עצמו. [[הומומורפיזם]] זה הוא תמיד [[חד-חד-ערכי]], ומגדיר [[שיכון (מתמטיקה)|שיכון]] של השדה לתוך עצמו (שהוא [[אפימורפיזם|על]] אם השדה סופי, ראו [[הומומורפיזם פרובניוס]]).
==הכללות==
אפשר להגדיר מאפיין של [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג עם יחידה]] <math>R</math> באותה דרך שבהבה מגדירים מאפיין של שדה. ההעתקה מ-<math>\ n</math> לסכום של <math>\ n</math> פעמים <math>1</math>, מהווה הומומורפיזם מ[[חוג השלמים]] ל- <math>R</math>, שה[[גרעין (אלגברה)|גרעין]] שלו הוא ה[[אידאל (אלגברה)|אידיאל]] הנוצר על ידי המאפיין. לדוגמה, לכל [[מערכות מספרים|מערכות המספרים]] יש מאפיין אפס.
המאפיין של [[תחום שלמות]] הוא תמיד אפס או מספר ראשוני, אבל לכל מספר טבעי n קיים חוג בעל מאפיין n: [[חוג מנה|חוג המנה]] <math>\ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math>.
לדוגמה, לכל [[מערכות מספרים|מערכות המספרים]] יש מאפיין אפס.
אפשר להגדיר מאפיין גם עבור [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] בלי יחידה: המאפיין של R הוא המספר המינימלי n כך שסכום n פעמים <math>\ a+a+a+...+a</math> שווה לאפס עבור כל איבר בחוג. המאפיין שווה ל[[אקספוננט של חבורה|אקספוננט]] של החוג כ[[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] [[קומוטטיביות|קומוטטיבית]].
המאפיין של [[תחום שלמות]] הוא תמיד אפס או מספר ראשוני, אבל לכל מספר טבעי <math>n</math> קיים חוג בעל מאפיין <math>n</math>: [[חוג מנה|חוג המנה]] <math>\ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math>.
אפשר להגדיר מאפיין גם עבור [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] בלי איבר יחידה (באנגלית, מקובל לסמנו בסימון: <math>rng</math>):
* המאפיין של החוג <math>R</math> הוא המספר המינימלי <math>n</math>, כך שסכום <math>n</math> פעמים <math>\ a+a+a+...+a</math> שווה לאפס עבור כל איבר בחוג.
* המאפיין שווה ל[[אקספוננט של חבורה|אקספוננט]] של החוג כ[[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] [[קומוטטיביות|קומוטטיבית]].
==ראו גם==
==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}
== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים}}
[[קטגוריה:אלגברה]]
| 