פירוק ז'ורדן (אלגברת לי) – הבדלי גרסאות

* אם <math>x={x}_{s}+{x}_{n}</math> היא צורת הז'ורדן של <math>x</math>, אז <math>\operatorname{ad}x=\operatorname{ad}{x}_{s}+\operatorname{ad}{x}_{n}</math> היא צורת הז'ורדן של ה[[ייצוג הצמוד]] שלו.

אם בנוסף להנחות הנ"ל, <math>L</math> היא גם [[אלגברת לי פשוטה למחצה]], אז ה[[נגזרת (אלגברה)|נגזרות]] שלה מתלכדות עם [[ההצגה הצמודה]] שלה, כלומר <math>\operatorname{Der}(L)=\operatorname{ad}(L)</math>. במקרה זה, יש [[איזומורפיזם]] בין <math>L</math> ל-<math>\operatorname{ad}(L)</math>. כעת, לכל איבר ב-<math>\operatorname{ad}(L)</math> יש פירוק ז'ורדן, ולפי הטענה לעיל חלקיו נשארים בתוך <math>\operatorname{Der}(L)</math>, שהיא בדיוק <math>\operatorname{ad}(L)</math>. כלומר, לכל איבר <math>x</math> ב-<math>L</math> קיימים איברים <math>s</math>,<math>n</math> ב-<math>L</math>, כך ש- <math>x=s+n</math> (הם התמונות ההופכות של צורת ז'ורדן של <math>\operatorname{ad}x</math>). צורת זו נקראת '''צורת ז'ורדן המופשטת''' של <math>x</math>, ו-<math>s</math>,<math>n</math> נקראים בהתאמה החלקים ה'''ינלפוטנטינילפוטנטי''' וה'''פשוט למחצה''' של <math>x</math>. חשוב גם לציין כי במקרה ש-<math>L</math>היא מלכתחילה תת-אלגברה של אלגברת אנדומורפיזמים, אין סתירה בסימונים וביחידות הצורה.