שיטת הדלתה

בסטטיסטיקה, שיטת הדלתה היא תוצאה המאפשרת את אמידת שגיאת התקן של פונקציה של אמד לפרמטר, כאשר התפלגותו האסימפטוטית של האמד היא נורמלית ושגיאת התקן של האמד ידועה.

היסטוריה

נשאיר את זה לאחר כך

המקרה החד מימדי

תהי $X_{n}$ סדרה של משתנים מקריים בעלת התפלגות אסימפטוטית נורמלית, ובאופן פורמלי ${{\sqrt {n}}[X_{n}-\theta ]\,{\xrightarrow {D}}\,{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})},$, כאשר $\theta$ ו-$\sigma ^{2}$ קבועים ממשיים, ו-${\xrightarrow {D}}$ מציין התכנסות בהתפלגות. כן תהא $g$ פונקציה הגזירה בנקודה $\theta$ כך ש-$g'(\theta )$ רציפה ו-$g'(\theta )\neq 0$ אזי: ${{\sqrt {n}}[g(X_{n})-g(\theta )]\,{\xrightarrow {D}}\,{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2}\cdot [g'(\theta )]^{2})}$.

הוכחה: על פי משפט הערך הממוצע של לגראנז' (משפט ערך הביניים) קיים ${\tilde {\theta }}$ כך ש-$g(X_{n})=g(\theta )+g'({\tilde {\theta }})(X_{n}-\theta )$, כך ש-${\tilde {\theta }}$ נמצא בין $X_{n}$ ובין $\theta$.

נסדר מחדש את האיברים ונגפיל ב-${\sqrt {n}}$, ונקבל כי

${\sqrt {n}}[g(X_{n})-g(\theta )]=g'\left({\tilde {\theta }}\right){\sqrt {n}}[X_{n}-\theta ]$.

לכן, מכיוון ש-$X_{n}\,{\xrightarrow {P}}\,\theta$ (כאשר ${\xrightarrow {P}}$ מציין שאיפה בהסתברות) מקבלים כי ${\tilde {\theta }}{\xrightarrow {P}}\,\theta$. מכיוון ש-$g'(\theta )$ רציפה אנו מקבלים כי גם $g'({\tilde {\theta }}){\xrightarrow {p}}g'(\theta )$.