הבדלים בין גרסאות בדף "שיטת הדלתה"

נוספו 25 בתים ,  לפני שנתיים
 
== שיטת הדלתה ==
'''משפט'''
 
תהי <math>X_n</math> סדרה של [[משתנה מקרי|משתנים מקריים]] בעלת התפלגות אסימפטוטית נורמלית, ובאופן פורמלי <math>{\sqrt{n}[X_n-\theta]\,\xrightarrow{D}\,\mathcal{N}(0,\sigma^2)},</math>, כאשר <math>\theta</math> ו-<math>\sigma^2</math> קבועים ממשיים, ו-<math>\xrightarrow{D}</math> מציין [[התכנסות בהתפלגות]]. כן תהא <math>g</math> פונקציה [[נגזרת|הגזירה]] בנקודה <math>\theta</math> כך ש-<math>g'(\theta)</math> [[רציפות|רציפה]] ו-<math>g'(\theta) \ne 0</math> אזי: <math>{\sqrt{n}[g(X_n)-g(\theta)]\,\xrightarrow{D}\,\mathcal{N}(0,\sigma^2\cdot[g'(\theta)]^2)}</math>.
 
כן תהא <math>g</math> פונקציה [[נגזרת|הגזירה]] בנקודה <math>\theta</math> כך ש-<math>g'(\theta)</math> [[רציפות|רציפה]] ו-<math>g'(\theta) \ne 0</math>.
 
אזי: <math>{\sqrt{n}[g(X_n)-g(\theta)]\,\xrightarrow{D}\,\mathcal{N}(0,\sigma^2\cdot[g'(\theta)]^2)}</math>.
 
 
'''הוכחה:'''
 
'''הוכחה:''' על פי [[משפט הערך הממוצע של לגראנז']] (משפט ערך הביניים) קיים <math>\tilde\theta</math> כך ש-<math>g(X_n)=g(\theta)+g'(\tilde{\theta})(X_n-\theta)</math>, כך ש-<math>\tilde\theta</math> נמצא בין <math>X_n</math> ובין <math>\theta</math>. (זהו למעשה [[פיתוח טיילור]] של <math>g</math> סביב <math>\theta</math>.)
 
'''הוכחה:''' על פי [[משפט הערך הממוצע של לגראנז']] (משפט ערך הביניים) קיים <math>\tilde\theta</math> כך ש-<math>g(X_n)=g(\theta)+g'(\tilde{\theta})(X_n-\theta)</math>, כך ש-<math>\tilde\theta</math> נמצא בין <math>X_n</math> ובין <math>\theta</math>. (זהו למעשה [[פיתוח טיילור]] של <math>g</math> סביב <math>\theta</math>.)
 
נסדר מחדש את האיברים ונכפיל ב-<math>\sqrt{n}</math>, ונקבל כי <math>\sqrt{n}[g(X_n)-g(\theta)]=g' \left (\tilde{\theta} \right )\sqrt{n}[X_n-\theta]</math>.
 
 
מכיוון ש-<math>X_n\,\xrightarrow{P}\,\theta</math> (כאשר <math>\xrightarrow{P}</math> מציין [[התכנסות בהסתברות]]) מקבלים כי <math>\tilde\theta\xrightarrow{P}\,\theta</math>, ומכיוון ש-<math>g'(\theta)</math> רציפה אנו מקבלים כי גם <math>g'(\tilde\theta)\xrightarrow{p}g'(\theta)</math>.
 
 
כזכור, על פי תנאי המשפט <math>{\sqrt{n}[X_n-\theta]\,\xrightarrow{D}\,\mathcal{N}(0,\sigma^2)},</math>, ולכן על פי [[משפט סלוצקי]] מקבלים באופן מיידי כי <math>{\sqrt{n}[g(X_n)-g(\theta)]\,\xrightarrow{D}\,\mathcal{N}(0,\sigma^2\cdot[g'(\theta)]^2)}</math>.
 
 
הערה: ניתן להוכיח כי השגיאה בקירוב שואפת בהסתברות לאפס. כן קיימת גירסה רב מימדית.