|
ב[[תורת החבורות]], '''מחלקה''' או '''קוֹסֵט''' (coset) של תת חבורה <math>\ H</math> היא קבוצה של איברי [[חבורה (אלגברה)|חבורה]] <math>\ G</math> שמתקבלים מהכפלת אברי <math>\ H</math> באיבר כלשהו מהחבורה. כל המחלקות של תת חבורה כלשהי <math>\ H</math> מהווים חלוקה של <math>\ G</math> לקבוצות שוות [[עוצמה|בעוצמתן]].
==הגדרה פורמלית==
תהא <math>\ G </math> חבורה ותהא <math>\ H\subseteq G </math> תת חבורה שלה. יהא <math>\ g\isin G </math> איבר כלשהו, אז הקבוצה <math>\ gH=\left\{gh|h\isin H\right\} </math> תיקרא '''מחלקה שמאלית''' (או קוסט שמאלי) של <math>\ H </math> ב-<math>\ G </math>, והקבוצה <math>\ Hg=\left\{hg|h\isin H\right\} </math> תיקרא '''מחלקה ימנית''' (או קוסט ימני) של <math>\ H </math> ב-<math>\ G </math>.
ניתן להוכיח שהיחס "להיות שייך לאותה מחלקה" מהווה [[יחס שקילות]]. על כן, כל תת חבורה <math>\ H</math> משרה חלוקה של <math>\ G</math> לקבוצות זרות באמצעות המחלקות שלה.
ניתן גם להראות כי לכל קבוצה <math>\ H</math>, מספר האיברים בכל מחלקה שלה זהה ושווה למספר האיברים ב-<math>\ H</math>. מכאן נובע [[משפט לגראנז' (תורת החבורות)|משפט לגראנז']]: [[סדר (בתורת החבורות)|הסדר]] של כל חבורה סופית מתחלק בסדר תתי החבורות שלה.
מספר המחלקות הימניות (או השמאליות, ההגדרה שקולה) של תת חבורה H בחבורה <math>\ G</math> נקרא '''האינדקס''' של <math>\ H</math> ב-<math>\ G</math> ומסומן <math>\ [G:H]</math>. אם <math>\ G</math> סופית, אינדקס זה שווה ל-<math>\ |G|/|H| </math>.
[[קטגוריה:תורת החבורות]]
{{נ}}
[[en:Coset]]
[[de:Gruppentheorie#Nebenklassen]]
[[fr:Classe suivant un sous-groupe]]
[[it:Classe laterale]]
| 