הבדלים בין גרסאות בדף "בסיס (טופולוגיה)"

שכתוב
מ (בסיס לטופולוגיה הועבר לבסיס (טופולוגיה): כך בויקיפדיות בשפות אחרות)
(שכתוב)
ב[[טופולוגיה]], '''בסיס''' ו'''תת-בסיס''' הן דרכים חסכוניות לתאור המבנה של [[מרחב טופולוגי]]. מן הקבוצות בבסיס אפשר לבנות את ה[[קבוצה פתוחה|קבוצות הפתוחות]] בדרך של [[איחוד]], ומן הקבוצות בתת-בסיס אפשר לבנות את הקבוצות הפתוחות בעזרת פעולות ה[[איחוד]] וה[[חיתוך]].
'''בסיס לטופולוגיה''' הוא אוסף של קבוצות פתוחות, שמאיחודיהן אפשר לקבל את כל הקבוצות הפתוחות השייכות ל[[מרחב טופולוגי|טופולוגיה]].
 
== הגדרה פורמלית ==
 
=== בסיס ===
יהי <math>\ ( X , \tau )</math> [[מרחב טופולוגי]].
 
'''בסיס''' של [[מרחב טופולוגי]] <math>\ ( X,\tau )</math> הוא אוסף <math>\ B</math> של [[קבוצה פתוחה|קבוצות פתוחות]], כך שכל קבוצה פתוחה מהווה איחוד של אברים מן הבסיס; במלים אחרות, <math>\ \tau=\{\cup_{b \in I}b | I \subseteq B\}</math>. מנקודת המבט של הנקודות במרחב, אפשר לתאר בסיס כאוסף B של קבוצות פתוחות, כך שלכל <math>\ x\in X</math> ולכל קבוצה פתוחה <math>\ x\in U</math>, קיימת קבוצה <math>\ b\in B</math> בבסיס, כך ש- <math>\ x\in b\subseteq U</math>.
אוסף קבוצות <math>\mathbb{B} \subset \tau</math> יקרא '''בסיס לטופולוגיה''' אם כל קבוצה בטופולוגיה ניתנת להצגה כאיחוד של איברי B. זה שקול לכך ש
: <math>\ \forall x \in X , V \in \tau \ : \ x \in V \Rightarrow \exist B \in \mathbb{B} : x \in B \subset V</math>
 
בסיס כזה נקרא לעיתים גם '''מערכת [[סביבה (טופולוגיה)|סביבות]] פונדמנטליתיסודית'''.
 
אוסף B של קבוצות במרחב X הוא בסיס (ל''איזושהי'' טופולוגיה) אם X [[כיסוי (טופולוגיה)|מכוסה]] על-ידי האוסף, ולכל שתי קבוצות <math>\ b_1,b_2 \in B</math> ונקודה בחיתוך <math>\ x\in b_1 \cap b_2</math>, קיימת קבוצה <math>\ b_3 \in B</math> בבסיס, כך ש- <math>\ x \in b_3 \subset b_1 \cap b_2</math>.
== מושגים הקשורים בבסיס ==
אם מתקיימות שתי תכונות אלה, אז אוסף האיחודים של קבוצות מן הבסיס מהווה טופולוגיה על X.
 
=== תת-בסיס ===
* '''בסיס מקומי (לוקלי)''': זהו בסיס לטופולוגיה סביב נקודה מסוימת במרחב X. באופן פורמלי, אוסף <math>\mathbb{B}_x \subset \tau</math> יקרא "בסיס לטופולוגיה בנקודה ב x" אם: <math>\ \forall V \in \tau , x \in V \ : \ \exist B \in \mathbb{B}_x : x \in B \subset V</math>
* נאמר שמרחב טופולוגי מקיים את [[אקסיומת המניה הראשונה]] (או בקיצור: X ממנייה I) אם לכל נקודה ב-X קיים בסיס מקומי [[בן מניה]].
* '''משקל''': משקל של מרחב טופולוגי, <math>\ w(X)</math> מוגדר להיות ה[[עוצמה]] הקטנה ביותר של בסיס (כלשהו) לטופולוגיה.
* נאמר שמרחב טופולוגי מקיים את [[אקסיומת המניה השניה]] (או בקיצור: X ממנייה II או מקיים מנייה II) אם המשקל שלו קטן או שווה ל[[אלף 0]] (כלומר: קיים בסיס לטופולוגיה ב X שהוא [[בן מניה]]).
* אוסף של קבוצות חלקיות ל X , <math>\mathbb{S} \subset \tau</math>יקרא '''[[תת-בסיס]]''' אם אוסף כל החיתוכים הסופיים של קבוצות מ S מהווה בסיס. אוסף S יקרא תת-בסיס של B אם אם כל איבר בבסיס B ניתן להצגה כחיתוך סופי של קבוצות מהתת-בסיס. כלומר: <math>\forall B \in \mathbb{B} : \exist n \in \mathbb{N} , \ S_1 \cdots S_n \in \mathbb{S} \ : \ B = S_1 \cap \cdots \cap S_n</math> .
 
'''תת-בסיס''' של מרחב טופולוגי <math>\ ( X,\tau )</math> הוא אוסף <math>\ S</math> של קבוצות פתוחות, כך שאוסף החיתוכים הסופיים של קבוצות מ- S הוא בסיס. כל אוסף המכסה את המרחב הוא תת-בסיס לאיזושהי טופולוגיה; במקרה כזה, הקבוצות הפתוחות בטופולוגיה הן איחודים של חיתוכים סופיים של קבוצות מ- S.
=== אפיון בסיס ותת-בסיס ===
 
== מושגים הקשורים בבסיסקרובים ==
המשפט הבא נותן קריטריון פשוט לאפיון וזיהוי בסיס.
 
* מרחב טופולוגי מקיים את [[אקסיומת המנייה השניה]], אם יש לו בסיס [[קבוצה בת מנייה|בן מניה]].
'''משפט''': נניח ש X מרחב לא ריק. אזי אוסף <math>\mathbb{B}</math> של קבוצות חלקיות ל X יקרא '''בסיס''' [[אם ורק אם]] הוא מקיים את שתי התכונות הבאות:
* '''בסיס מקומי''': אוסף B של קבוצות פתוחות במרחב טופולוגי היא "בסיס מקומי" סביב הנקודה x, אם כל קבוצה פתוחה המכילה את x מכילה איבר של B המכיל את x.
# לכל <math>\ x \in X</math> קיימת קבוצה ב B המכילה אותו. במילים אחרות: <math>\ \bigcup{\mathbb{B}} \equiv \bigcup_{B \in \mathbb{B}}{B} = X</math>. כלומר: הבסיס [[כיסוי (טופולוגיה)|מכסה]] את X.
* [[אקסיומת המנייה הראשונה]] היא התכונה שיש במרחב, סביב כל נקודה, בסיס מקומי [[קבוצה בת מנייה|בן מניה]].
# לכל <math>\ B_1 , B_2 \in \mathbb{B}</math> שאינן זרות ולכל <math>\ x \in B_1 \cap B_2</math> קיימת <math>\ B_3 \in \mathbb{B}</math> כך ש <math>\ x \in B_3 \subset B_1 \cap B_2</math>.
אם שתי תכונות אלה מתקיימות, האוסף <math>\ \tau = \{ \mbox{All unions of sets from } \mathbb{B} \}</math> הוא טופולוגיה על X.
 
המשפט הבא מאפיין תתי-בסיס.
 
'''משפט''': אוסף של תתי-קבוצות של X הוא תת-בסיס אם ורק אם הוא [[כיסוי (טופולוגיה)|מכסה]] את X (כלומר: איחוד כל הקבוצות באוסף שווה ל X).
 
== דוגמאות ==
 
* ב[[מרחב מטרי]], אוסף כל [[כדור (טופולוגיה)|הכדורים הפתוחים]] הוא בסיס לטופולוגיה המושרית על ידי ה[[מטריקה]].
* מעל ב[[הישר הממשי]], הקבוצה <math>\ \mathbb{B} = \{ (a,\infty) | a \in \mathbb{R} \}</math> היא בסיס. הטופולוגיה שהוא משרה בעצם שווה לבסיס עצמו!
* במרחב <math>\mathbb{R}</math> עם הטופולוגיה המטרית (ה[[מטריקה]] היא [[ערך מוחלט|הערך המוחלט]]) הקבוצה <math>\ \mathbb{S} = \{ (a,\infty) , ( - \infty , b) | a,b \in \mathbb{R} \} </math> היא תת-בסיס לטופולוגיה המטרית.
* [[הישר העשיר]] מוגדר באמצעות בסיס של קבוצות מהצורה (a,b] כאשר a ו b מספרים ממשיים כלשהם.