הכללה (מתמטיקה) – הבדלי גרסאות

 

טענה זו נכונה משום ש-<math>a^3-a=a(a-1)(a+1)</math>. זוהי מכפלה של שלושה מספרים עוקבים, ולכן בהכרח אחד מהם מתחלק ב-3, ולכן כך גם המכפלה כולה. אם נציב a=2 נקבל את הטענה ש-6 מתחלק ב-3, ממנה התחלנו.

* [[המשפט הקטן של פרמה]]: לכל p [[מספר ראשוני|ראשוני]] ולכל a טבעי, <math>a^p-a</math> מתחלק ב-p.

 

משפט זה מכליל את הטענה הקודמת שמתקבלת מהמשפט כאשר מציבים p=3.

* [[משפט אוילר]]: לכל n טבעי ולכל a טבעי [[מספרים זרים|זר]] ל-n, מתקיים ש-<math>a^{\phi (n)}-1</math> מתחלק ב-n (<math>\phi (n)</math> היא [[פונקציית אוילר]], ששווה למספר המספרים הזרים ל-n וקטנים ממנו).

 

 

עד כה עסקנו במספרים טבעיים. אך ההכללה הבאה תחשוף את הטבע האמיתי של הטענות שעסקנו בהן, שיש להן משמעות אלגברית עמוקה.

* תהי G [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] מ[[סדר של חבורה|סדר]] n, ויהי g איבר ב-G, אזי <math>g^n=e</math>, כאשר e הוא [[איבר יחידה|איבר היחידה]] של G.