ויקיפדיה

בחירה חברתית – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
אין תקציר עריכה
שורה 1:
ב[[תורת המשחקים]], '''בחירה חברתית''' היא סוגהליך שלשבו משחק, בו קבוצת שחקנים צריכה לבחורבוחרים בין מספר אפשרויות,'''מועמדים''' כאשרבאופן לכלהמביא שחקןבחשבון ישאת סדרההעדפות העדפותשל משלו על האפשרויות השונות -ה'''מצביעים'''. לדוגמה, [[אזרחות|אזרחים]] הבוחרים את מועמדיהם ל[[הכנסת|כנסת]], או דיירים הבוחרים את המועמדים לוועד הבית. השחקנים צריכים להגיע להחלטה מוסכמת על פי כללים מסוימים.
 
==טיפוסי בחירות==
== הגדרה פורמלית ==
יחס העדפות על קבוצה <math>\ A</math> הוא [[יחס סדר מלא]] על <math>\ A</math>. יחס העדפות הוא [[יחס העדפות חזק]] אם הוא יחס סדר חזק. אוסף יחסי ההעדפות החזקים מוסמן ב-<math>\mathcal{P}(A)</math>, ואוסף יחסי ההעדפות בכלל (כולל אינו שאינם חזקים) מסומן ב-<math>\mathcal{P}^*(A)</math>.
 
הליך של בחירה חברתית יוצא כאמור מן ההעדפות של המצביעים, ומחזיר הכרעה משותפת. ההעדפה של מצביע יכולה לכלול בחירת המועמד המועדף עליו בלבד (כמו בבחירות אישיות לראשות הממשלה), דירוג מלא של כל המועמדים, דירוג חלקי (כמו באירוויזיון) או כל [[יחס סדר]] על קבוצת המועמדים. תוצאת ההליך יכולה להיות בחירה של זוכה יחיד, או דירוג מלא של המועמדים, ועשויה לכלול גם תוצאות תיקו.
בחירה חברתית נתונה על ידי שלשה <math>\left (N, A, P^N \right )</math>, כאשר:
* <math>N=\{1,2,\cdots,n\}</math> היא קבוצת השחקנים.
* <math>\ A</math> היא קבוצת האפשרויות השונות.
* <math>P^N=\left (P_1,\cdots,P_n\right )\in \mathcal{P}(A)^N</math> הוא פרופיל העדפות חזקות של <math>\ N</math> על <math>\ A</math>, כלומר רשימה של יחסי העדפות של כל שחקן על <math>\ A</math>.
 
הנחת היסוד היא שכל מצביע בפני עצמו נוהג באופן רציונלי, כלומר שאם הוא מעדיף את a על b ואת b על c, אז הוא מעדיף את a על c. באופן פורמלי, אם A היא קבוצת המועמדים, מסמנים ב-<math>\mathcal{P}(A)</math> את אוסף [[יחס סדר חזק|יחסי הסדר החזקים]] על A, וב-<math>\mathcal{P}^*(A)</math> את אוסף יחסי הסדר (ה[[יחס סדר חלש|חלשים]] והחזקים). בהקשר זה, יחס הסדר נקרא גם '''יחס העדפות'''. בגישה מתמטית זו, '''בחירה חברתית''' היא [[שלשה סדורה]] הכוללת את קבוצת המצביעים N, את קבוצת המועמדים A, ופונקציה המתאימה לכל מצביע את יחס ההעדפות שלו.
== פתרונות למשחק ==
פתרון למשחק הוא פונקציה אשר מחזירה בחירה מסוימת בהתאם לפרופיל ההעדפות. בהינתן פונקציה כזו, ניתן לדרוש שהפונקציה תקיים תכונות מסוימות, כגון [[מונוטוניות (פונקציית בחירה חברתית)|מונוטוניות]] או [[אי-תלות באפשרויות לא רלוונטיות]].
 
'''פונקציית בחירה''' (או '''שיטת בחירה''') היא פונקציה המקבלת את העדפות המצביעים (פורמלית, את הבחירה החברתית), ומחזירה יחס סדר על המועמדים. מבחינים בין '''[[פונקציית בחירה חברתית]]''' המקבלת מכל מצביע יחס העדפות חזק ומחזירה אפשרות אחת מועדפת, לבין '''[[פונקציית רווחה חברתית]]''' המקבלת מכל מצביע יחס העדפות חזק, ואמורה להחזיר יחס סדר (חלש) של המועמדים.
=== פונקציית רווחה חברתית ===
{{הפניה לערך מורחב|פונקציית רווחה חברתית}}
'''פונקציית רווחה חברתית''' היא פונקציה אשר בהינתן פרופיל העדפות חזק, מחזירה דירוג כולל של כל המועמדים. באופן פורמלי, זו פונקציה <math>F:\mathcal{P}(A)^N \to \mathcal{P}^*(A)</math>.
 
== תנאים על פונקציית הבחירה ==
=== פונקציית בחירה חברתית ===
{{הפניה לערך מורחב|פונקציית בחירה חברתית}}
'''פונקציית בחירה חברתית''' היא פונקציה אשר בהינתן פרופיל העדפות חזק, מחזירה אפשרות אחת מועדפת. באופן פורמלי זו פונקציה <math>F:\mathcal{P}(A)^N \to A</math>.
 
בתורת המשחקים הוגדרו ונחקרו עשרות תנאים על פונקציות בחירה. פונקציית בחירה היא
* '''אנונימית''' אם היא אדישה לזהות המצביעים (כלומר סימטרית ביחס להחלפה ביניהם);
* '''נייטרלית''' אם היא אדישה לזהות המועמדים;
* '''[[מונוטוניות (פונקציית בחירה חברתית)|מונוטונית]]''' אם מועמד מנצח אינו ניזוק משינוי עמדות של מצביעים לטובתו;
* '''תנאי הרוב''' מתקיים את המועמד שהגיע למקום הראשון אצל רוב המצביעים, מנצח;
* '''תנאי קונדורסה''' (הזוכה) דורש שמועמד המנצח כל מועמד אחר בתחרות ראש-בראש, ינצח. תנאי קונדורסה גורר את תנאי הרוב.
* '''תנאי קונדורסה המפסיד''' דורש שמועמד המפסיד לכל מועמד אחר בתחרות ראש-בראש, לא ינצח.
 
תנאי חשוב נוסף הוא [[אי-תלות באפשרויות לא רלוונטיות]].
 
== פונקציות בחירה ==
 
מכיוון שהכרעה בין מועמדים היא מעשה שבשגרה בכל גוף חברתי מורכב, נמצאות בשימוש פונקציות בחירה רבות, מהן פשוטות ומהן מסובכות, מהן מוצלחות ומהן שנויות במחלוקת.
* '''הכרעת רוב''' היא שיטה שבה המועמד שזכה לרוב קולות המצביעים (כבחירה ראשונה) הוא הזוכה. חסרונה הוא שאם מדרגים יותר משני מועמדים, פעמים רבות אין מועמד כזה.
* '''שלטון כפוי''' היא שיטה שבה מועמד מסויים נבחר בכל מקרה, ללא חשיבות לתוכן ההצבעה (השיטה מאפיינת [[דיקטטורה|דיקטטורות]]).
* '''דיקטטורה''' היא שיטה שבה מצביע אחד, מסויים, קובע את זהותו של המועמד הזוכה.
* שיטת '''מנצח המוביל''' (plurality) היא השיטה שבה המועמד שזכה למירב הקולות (כבחירה ראשונה) זוכה, אף אם לא הגיע לרוב קולות המצביעים.
* באופן כללי יותר, '''שיטת מכסה''' (quota) היא שיטה שבה מנצח מי שמשיג q קולות. אם יותר ממועמד אחד השיג q קולות, השיטה כשלעצמה אינה מוגדרת.
 
כל שיטת הצבעה נייטרלית, אנונימית ומונוטונית בין שני מועמדים היא שיטת מכסה. '''משפט May''' (מ-1952), שהוא תוצאה של העובדה הזו, קובע כשאשר מספר המצביעים אי-זוגי ויש שני מועמדים, הכרעת רוב היא השיטה הנייטרלית, אנונימית ומונוטונית היחידה שאינה סובלת מתיקו.
 
* ב'''שיטת בורדה''' כל מצביע מחלק נקודות במספר קבוע מראש בין המועמדים (למשל, 1,2,3,5 נקודות לארבעת המועמדים, כשסדר החלוקה הוא כראות עיני המצביע). זוהי השיטה שבה בוחרים את השיר הזוכה ב[[אירוויזיון]]. שיטת בורדה אינה מקיימת את תנאי הרוב.
* בשיטת '''המפסיד יוצא''' (Thomas Hare) המצביעים מדרגים את כל המועמדים; מי שמספר התומכים בו כראשון הוא הנמוך ביותר נפסל, וחוזר חלילה. זו שיטה אנונימית ונייטרלית, אבל היא אינה מונוטונית, ואף אינה מקיימת את תנאי קונדורסה.
* בשיטת ה'''השוואה הסדרתית''' מסדרים את המועמדים מראש, ואז קובעים מי ניצח מבין שני הראשונים, משווים את המנצח מביניהם למועמד השלישי, את המנצח מביניהם למועמד הרביעי, וכן הלאה. שיטה זו היא אנונימית, מונוטונית, ומקיימת את תנאי קונדורסה - אבל אינה נייטרלית.
==ראו גם==
* [[פרדוקס ההצבעה]]
שורה 26 ⟵ 42:
==לקריאה נוספת==
*{{צ-ספר|מחבר=שמואל זמיר, [[מיכאל משלר]], [[אילון סולן]]|שם=תורת המשחקים|מו"ל=[[הוצאת מאגנס|מאגנס]]|שנת הוצאה=2008|מקום הוצאה=ירושלים|ISBN=9654932946}}
* The Mathematics of Voting and Elections: A Hands-On Approach, 2nd ed [https://bookstore.ams.org/mawrld-30], 2018.
 
[[קטגוריה:תורת המשחקים]]
[[קטגוריה:תכנון מכניזמים]]
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/בחירה_חברתית"