עקבה (אלגברה) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
הוספת קישור לערך שחלוף כאשר מדברים על מטריצה משוחלפת |
|||
שורה 12:
עבור כל מטריצה ריבועית A ו-B, ועבור כל סקלר <math>\alpha</math>.
העקבה מאפשרת להגדיר [[תבנית ביליניארית]] <math>\ M_n(F) \times M_n(F) \rightarrow F</math> לפי הנוסחה <math>\ (A,B) \mapsto \mathrm{tr}(AB)</math>, וזוהי תבנית סימטרית: <math>\ \mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)</math>. קיומה של תבנית כזו הופך את אלגברת המטריצות ל[[אלגברת פרובניוס]].
שורה 18:
מתכונת הסימטריות נובע שאם P [[מטריצה הפיכה]], אז <math>\ \mathrm{tr}(PAP^{-1})=\mathrm{tr}(A)</math> לכל מטריצה A. במלים אחרות, לשתי מטריצות [[מטריצות דומות|דומות]] יש אותה עקבה. למעשה, העקבה של מטריצה בגודל <math>\ n\times n</math> מופיעה כמינוס המקדם של <math>\ \lambda^{n-1}</math> ב[[פולינום אופייני|פולינום האופייני]] <math>\ f_a(\lambda)=\det(\lambda I - A)</math>, ולכן עובדה זו היא מקרה פרטי של העובדה שלמטריצות דומות יש אותו פולינום אופייני.
מן הסימטריות נובע גם שלכל n מטריצות <math>\ A_1,\dots,A_n</math> ולכל i מתקיים <math>\ \mathrm{tr}(A_1\dots A_n) = \mathrm{tr}(A_{i+1}\dots A_n A_1 \dots A_i)</math>. עם זאת, בדרך כלל <math>\ \mathrm{tr}(ABC) \neq \mathrm{tr}(ACB)</math>.
תוצאה נוספת של הסימטריות היא שלכל המטריצות מהצורה <math>\ AB-BA</math>, כלומר, [[קומוטטור|קומוטטורים חיבוריים]], יש עקבה אפס. מצד שני, אפשר להוכיח שכל מטריצה בעלת עקבה אפס היא קומוטטור, כך שהגרעין של העתקת העקבה כולל את כל הקומוטטורים. אוסף זה של מטריצות מהווה [[אלגברת לי]] [[אלגברת לי פשוטה|פשוטה]] (ביחס לפעולת הקומוטטור) - הדוגמה הקלה ביותר לאלגברות ממשפחה זו.
== עקבה ב[[תורת גלואה]] ==
| |||