חבורה דיהדרלית – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 13:
* לכל חבורה דיהדרלית יש (לכל הפחות) שתי [[תת חבורה|תתי-חבורות]] (לא טריוויאליות) [[חבורה ציקלית|ציקליות]] הנוצרות על ידי האיברים s ו-r, שסדריהן יהיו, בהתאמה, 2 ו-n.
* מספר האיברים של חבורה דיהדרלית של מצולע משוכלל בעל n צלעות הוא 2n.
* מספר תת-החבורות של חבורה דיהדרלית מסדר 2n (לא כולל החבורה עצמה) הוא 1 - (''d''(''n'') + σ(''n'', כאשר (''d''(''n'' הוא מספר המחלקים החיוביים של n ו-(''σ''(''n'' היא [[פונקציית מחלקים|פונקציית סכום המחלקים]] שלו. תוצאה זו נובעת ישירות מתיאור המבנה הכללי של חבורה דיהדרלית: הסדר של כל תת-חבורה מחלק את 2n (לפי [[משפט לגראנז' (תורת החבורות)|משפט לגראנז']]), ולכל מחלק m של n ניתן למנות עותק אחד של חבורה ציקלית ℤ<sub>''m''</sub> (הנוצרת על ידי איבר הסיבוב <math>r^{\frac{{n}}{{m}}} </math>), ועוד ''n''/''m'' תת-חבורות דיהדרליות מטיפוס <math>D_m</math>, הנוצרות כל אחת באמצעות סיפוח איבר שיקוף מהצורה <math>r^{i}s </math> לחבורה הציקלית ℤ<sub>''m''</sub>, כאשר <math>1 \le i\le n/m </math>.
* לכל חבורה דיהדרלית יש [[תת-חבורה נורמלית]] הנוצרת על ידי האיבר r (מכיוון שהיא מ[[אינדקס של תת-חבורה|אינדקס]] 2).
* חבורה דיהדרלית היא [[מכפלה חצי ישרה]] של החבורה הציקלית מסדר n והחבורה הציקלית מסדר 2, כאשר האוטומורפיזם המותאם ל-1 הוא אוטומורפיזם ההיפוך.
| |||