החבורה הסימטרית – הבדלי גרסאות

נוספו 1,178 בתים ,  לפני 3 שנים
מ (←‏רישום תמורות באמצעות מטריצה: הגהה, replaced: מצייג ← מייצג)
 
לכל החבורות הסימטריות (מסדר <math>\ n>2</math>) יש [[מרכז (תורת החבורות)|מרכז]] טריוויאלי. ה[[אוטומורפיזם|אוטומורפיזמים]] של כל החבורות <math>\ S_n</math> פרט לחבורה <math>\ S_6</math> הם פנימיים (כלומר, מושרים על ידי הצמדה); לחבורה <math>\ S_6</math> יש אוטומורפיזם חיצוני. לכן החבורות <math>\ S_n</math> (כאשר <math>\ n\neq 2,6</math>) הן [[חבורה שלמה|שלמות]].
 
=== יוצרים ===
באופן מפתיע, על אף קצב הגידול המהיר ביותר של החבורה הסימטרית בתלות בגודל הקבוצה ''n'' עליה היא [[פעולת חבורה|פועלת]], ניתן ליצור אותה בעזרת שני [[ייצוג של חבורה|יוצרים]] בלבד (זאת לכל <math>\ n>2</math>; עבור חבורה סימטרית בת שני איברים מספיק יוצר אחד). יוצרים אלו הם החילוף <math>(1\ 2)</math> והמחזור <math>(2\ \cdots\ n)</math>, ובעזרת שרשורים מתאימים שלהם ניתן לייצג את כל האיברים בחבורה הסימטרית <math>\ S_n</math>. ההוכחה לכך מורכבת משלוש ההיקשים הבאים:
 
* כל תמורה ניתנת להצגה כמספר סופי של חילופים.
* כל חילוף <math>(i\ j)</math> ניתן להצגה כהרכבה של חילופים מהצורה <math>(1\ k)</math> באופן הבא: <math>(i\ j) = (1\ j)(1\ i)(1\ j)</math>.
* כל חילוף מהצורה <math>(1\ k)</math> מקיים: <math>(1\ k) = (2\ \cdots\ n)^{(k-2)}(1\ 2)(2\ \cdots\ n)^{-(k-2)}</math>.
 
== ראו גם ==