הבדלים בין גרסאות בדף "חבורה (מבנה אלגברי)"

מ
אין תקציר עריכה
מ
{{סימון מתמטי}}
 
ב[[מתמטיקה]], '''חבורה''' (Group) היא [[מבנה אלגברי]] המורכב מ[[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] ו[[פעולה בינארית]] [[פעולה אסוציאטיבית|אסוציאטיבית]].
 
החבורות הופיעו במחקר המתמטי במהלך [[המאה ה-19]], במסגרת הניסיונות לפתור משוואות [[פולינום|פולינומיות]] ממעלה גבוהה, כדוגמת הפתרונות ל[[משוואה ממעלה שלישית]] ו[[משוואה ממעלה רביעית|רביעית]] שהתגלו ב[[המאה ה-16|מאה ה-16]]. החבורות שבהן עסקו החוקרים הראשונים, ובראשם [[אווריסט גלואה|גלואה]], היו חבורות ספציפיות שאיבריהן הם [[תמורה (מתמטיקה)|תמורות]]. מאוחר יותר ניסח [[ארתור קיילי]] את מערכת ה[[אקסיומה|אקסיומות]] המגדירה חבורה באופן מופשט, וייסד בכך את [[תורת החבורות]].
 
== דוגמאות ==
 
* [[קבוצת המספרים השלמים]] עם פעולת החיבור היא חבורה אבלית הנקראת [[החבורה הציקלית האינסופית]]. זו אינה חבורה ביחס לכפל, משום שיש מספרים שאין להם הפכי שלם.
* [[חבורת סימטריות|קבוצת הסימטריות]] של [[מצולע משוכלל]] (פעולות שיקוף וסיבוב שלא משנות אותו) עם פעולת ה[[הרכבת פונקציות|הרכבה]] (ביצוע הפעולות בזה אחרי זה). חבורה זו נקראת [[החבורה הדיהדרלית]].
 
== קשרים בין חבורות למבנים כלליים יותר ==
{| class="wikitable" style="text-align: center;
|+ מבנים אלגבריים (תחום החבורות)
! שם
! [[סגירות (אלגברה)|סגירות]]
! [[פעולה אסוציאטיבית|אסוציאטיבייות]]
|-
![[מאגמה (מבנה אלגברי)|מאגמה]]
| style="background: lime | '''כן''' || style="background: #F1948A | '''לא'''
| style="background: #F1948A| '''לא''' || style="background: #F1948A | '''לא'''
| style="background: #F1948A| '''לא'''
|-
![[קוואזי-חבורה]]
| style="background: lime | '''כן''' || style="background: #F1948A| '''לא'''
| style="background: #F1948A| '''לא'''|| style="background: lime | '''כן'''
| style="background: #F1948A| '''לא'''
|-
!לולאה
| style="background: lime | '''כן''' || style="background: #F1948A| '''לא'''
| style="background: lime | '''כן''' || style="background: lime | '''כן'''
| style="background: #F1948A| '''לא'''
|-
![[חבורה למחצה]]
| style="background: lime | '''כן''' || style="background: lime | '''כן'''
| style="background: #F1948A| '''לא'''|| style="background: #F1948A| '''לא'''
| style="background: #F1948A| '''לא'''
|-
![[חבורה למחצה#חבורה למחצה הפיכה|חבורה למחצה הפיכה]]
| style="background: lime | '''כן''' || style="background: lime | '''כן'''
| style="background: #F1948A| '''לא'''|| style="background: lime | '''כן'''
| style="background: #F1948A| '''לא'''
|-
![[מונואיד]]
| style="background: lime | '''כן''' || style="background: lime | '''כן'''
| style="background: lime | '''כן''' || style="background: #F1948A| '''לא'''
| style="background: #F1948A| '''לא'''
|-
!חבורה
| style="background: lime | '''כן''' || style="background: lime | '''כן'''
| style="background: lime | '''כן''' || style="background: lime | '''כן'''
| style="background: #F1948A| '''לא'''
|-
![[חבורה אבלית]]
| style="background: lime | '''כן''' || style="background: lime | '''כן'''
| style="background: lime | '''כן''' || style="background: lime | '''כן'''
| style="background: lime | '''כן'''
|-
|}
 
איבר היחידה של חבורה הוא ה[[אידמפוטנט]] היחיד בה. ב[[חבורה למחצה]] יש בדרך כלל אידמפוטנטים רבים, והקשרים ביניהם מאפשרים לבנות במדורג משפחות של חבורות למחצה שיש להן דמיון מסוים לחבורות. למשל, [[חבורה למחצה הפיכה]] היא חבורה למחצה שבה לכל x קיים y יחיד כך ש-xyx=x ו-yxy=y; במקרה זה מסמנים <math>\ x^{-1}=y</math>. בחבורה למחצה סופית S, לכל אידמפוטנט e, קבוצת האיברים המקיימים <math>\ xx^{-1}=x^{-1}x=e</math> היא תת-החבורה המקסימלית של S ש-e הוא איבר היחידה שלה.
 
ב[[מונואיד]], שהוא חבורה למחצה עם איבר יחידה 1, אפשר לדרוש שאיבר a יהיה "הפיך מימין" (קיים b כך ש- ab=1) או "הפיך משמאל" (קיים b כך ש-ba=1). איבר a שהוא הפיך גם מימין וגם משמאל הוא הפיך, כלומר, יש b המקיים בו-זמנית ab=ba=1. בכל מונואיד, אוסף האיברים ההפיכים סגור לכפל (בגלל התכונה <math>\ (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}</math>), והוא מהווה לכן חבורה. אם כל איבר של המונואיד הוא הפיך משמאל, אז כולם הפיכים, והמונואיד הוא חבורה. לעומת זאת קיימים מונואידים שאינם חבורות שבהם לכל a קיימים x,y כך ש-<math>\ xay=1</math>. מונואיד שבו מ-ax=ay תמיד נובע x=y, נקרא "מונואיד עם צמצום משמאל"; כל מונואיד הניתן לשיכון בחבורה הוא בעל צמצום (מימין ומשמאל), אבל ההפך אינו נכון. מונואיד סופי עם צמצום משמאל הוא חבורה.
==תת-חבורות==
 
תת-קבוצה של חבורה <math>\ G</math> המהווה בעצמה חבורה (ביחס לאותה פעולה בינארית אסוציאטיבית ולאותו איבר יחידה), נקראת '''תת-חבורה'''. כל תת-קבוצה הכוללת יחד עם כל איבר את ההפכי שלו, ויחד עם כל שני איברים את מכפלתם, היא תת-חבורה. ה[[חיתוך (מתמטיקה)|חיתוך]] של תת-חבורות הוא תמיד תת-חבורה. כל תת-חבורה H מחלקת את החבורה למחלקות שקילות, הנקראות [[קוסט|קוסטים]]ים, בשני אופנים: מימין, המחלקות הן מהצורה <math>\ gH = \{gh: h\in H\}</math>, ומשמאל, המחלקות הן מהצורה <math>\ Hg = \{hg: h\in H\}</math>. מספר האיברים בכל מחלקה (ימנית או שמאלית) שווה למספר האיברים בתת-החבורה, ומכאן נובע [[משפט לגראנז' (תורת החבורות)|משפט לגראנז']]: ה[[סדר של חבורה|סדר]] של תת-חבורה של חבורה סופית, מחלק את הסדר של החבורה. מספר המחלקות (השמאליות או הימניות) של תת-חבורה נקרא ה'''אינדקס''' של תת-החבורה ומסומן <math>\ [G:H]</math>. כאשר החבורות סופיות מתקיים <math>[G:H]=\frac{|G|}{|H|}</math>.
 
מהסדר של חבורה (סופית) אפשר להסיק רבות על המבנה שלה. בין המשפטים הבסיסיים בכיוון זה אפשר למנות את [[משפט קושי (תורת החבורות)|משפט קושי]] על קיומם של איברים בעלי סדר ראשוני, ואת [[משפטי סילו]] על קיומן של תת-חבורות שסדרן הוא חזקה של ראשוני.
באופן כללי יותר, לכל תת-חבורה H של חבורה G מסמנים ב- <math>\ C_G(H)</math> את אוסף האיברים של G, המתחלפים עם כל אברי H. תת-חבורה זו נקראת ה'''מְרַכֵּז''' <!-- ריש פתוחה --> של H. בפרט, <math>\ Z(G) = C_G(G)</math>. אם <math>\ H \subseteq H_1</math> שתי תת-חבורות של G, אז <math>\ C_G(H_1)\subseteq C_G(H)</math>. לכל תת-חבורה מתקיים <math>\ H \subseteq C_G(C_G(H))</math>, ו- <math>\ C_G(H)=C_G(C_G(C_G(H)))</math>.
 
באופן דומה, מגדירים את ה'''מנרמל''' של H, כתת-החבורה <math>\ \{g \in G : gHg^{-1}=H\}</math>. תת-חבורה זו מכילה את H, והיא תת-החבורה הגדולה ביותר של G שבה H נורמלית.
 
ראו גם: [[תת חבורת הקומוטטורים]], [[סדרת הרכב]].
 
== ראו גם ==
* [[מונואיד]]
 
* [[מונואיד]]
* [[אלגברת חבורה]]
* [[חבורה טופולוגית]]
==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{וידאו}} [https://youtu.be/mvmuCPvRoWQ Euler's formula with introductory group theory] - סרטון [[הנפשה]]
* {{MathWorld}}